ния следует представить по меньшей мере два тела, расстояние между которыми или относительное положение которых изменяется. Поэтому, если бы существовало только одно тело, оно никак не могло бы находиться в Движении. Это кажется мне весьма очевидным, поскольку идея, которую я имею о движении, необходимо должна включать в себя отношение. Способны ли другие мыслить иначе - этот вопрос может быть удовлетворительно разрешен при небольшой доле внимания. 
113. Но хотя во всяком движении необходимо мыслить более одного тела, может, однако, случиться, что только одно тело движется, а именно то, на которое действует сила, производящая изменение расстояния или взаимного расположения тел. Ибо хотя некоторые могут определять относительное движение так, что движущимся называется тело, которое изменяет свое расстояние от некоторого другого тела, независимо от того, направлена ли на него сила, производящая это изменение, или нет, но я не могу с этим согласиться; ибо, как мы сказали, относительное движение есть то, которое воспринимается в ощущении; и, принимая во внимание обычные житейские дела, оказывается, что всякий человек, обладающий обычным здравым смыслом, знает, что это такое, так же хорошо, как лучший из философов. Теперь я спрашиваю кого бы то ни было, можно ли в том смысле, в каком он понимает движение, сказать, что камни, мимо которых он проходит, идя по улице, находятся в движении, потому что изменяется расстояние между ними и его ногой? Мне кажется, что хотя движение предполагает отношение одной вещи к другой, нет необходимости, чтобы каждый соотносящийся термин получал от него свое название. Как человек может мыслить о чем-нибудь, что само не мыслит, так же одно тело может двигаться к другому или от него без того, чтобы последнее было само в движении, - я разумею, в движении относительном, так как иного движения не способен мыслить. 
114. Если бывает так, что различно определяется место, то изменяется и относящееся к нему движение. Можно сказать о человеке на корабле, что он находится в покое относительно бортов корабля и в движении относительно земли. Или он может двигаться к востоку в одном отношении и к западу - в другом. В обыденной жизни люди никогда не простирают своих мыслей далее земли для определения местонахождения какого-нибудь тела; и то, что находится в покое в отношении к ней, считается абсолютно покоящимся. Но философы, обнимающие мыслью более обширный круг и обладающие более верными понятиями о системе вещей, открыли, что сама Земля находится в движении. Поэтому, чтобы сообщить устойчивость своим понятиям, они склонились к той мысли, что телесный мир конечен и что его внешняя неподвижная стена или оболочка есть место, отношением к которому определяются истинные движения. Проверяя свои собственные понятия, мы найдем, я полагаю, что какое бы то ни было абсолютное движение, о котором мы можем составить себе идею, есть в конце концов не что иное, как определенное таким образом относительное движение. Ибо, как уже было замечено, абсолютное движение с исключением из него всякого внешнего отношения немыслимо; к этого же рода относительному движению окажутся подходящими, если я не ошибаюсь, все вышеупомянутые свойства, причины и действия, которые приписываются абсолютному движению. Что же касается сказанного о центробежной силе, именно, что она не присуща вращательному, относительному движению, то я не вижу, каким образом это следует из опыта [16], приведенного в доказательство этому (см. "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", in Schol. Def. VIII). Ибо вода в сосуде в то время, когда ей приписывается наибольшее относительное вращательное движение, не имеет, по моему мнению, никакого движения, как это явствует из предыдущего параграфа. 
115. Ибо для того чтобы называть тело движущимся, необходимо: во-первых, чтобы оно изменяло свое расстояние или положение относительно какого-либо другого тела; во-вторых, чтобы сила, вызывающая это изменение, была приложена к первому телу. Если одно из этих условий отсутствует, то я не нахожу, чтобы соответственно здравому человеческому смыслу или свойству языка можно было называть тело движущимся. Я допускаю, впрочем, что мы можем мыслить тело движущимся, если мы видим, что оно изменяет свое расстояние от другого тела, хотя никакая сила не приложена к нему (в каковом смысле в данном случае может иметь место видимое движение), но лишь на том основании, что сила, причиняющая изменение расстояния, воображается нами приложенной к телу, которое мыслится нами движущимся. Это показывает, конечно, что мы способны впадать в заблуждение, принимая за движущуюся вещь, не находящуюся в движении, - и ничего более, но не доказывает, что при обычном понимании движения тело считается движущимся только потому, что оно изменяет расстояние от другого тела; ибо, коль скоро мы избавляемся от заблуждения и находим, что движущая сила не была сообщена телу, мы уже не считаем его движущимся. Так, с другой стороны, если предполагается существующим только одно тело (части которого сохраняют данное взаимное расположение), то многие полагают, что оно может Двигаться всеми способами или путями, хотя и без изменения расстояния или положения относительно каких-либо других тел, чего и мы не отрицаем, если только предполагается, что к этому телу может быть приложена сила, которая в случае создания других тел может производить движение известных размера и свойств. Но чтобы действительное движение (отличное от производимого приложенной силой, способной произвести изменение места в случае существования тел, его определяющих) могло существовать в таком единственном теле, этого, должен сознаться, я не в состоянии понять. 
116. Из сказанного следует, что философское рассмотрение движения не подразумевает существования абсолютного пространства, отличного от воспринимаемого в ощущении и относящегося к телам; что оно не может существовать вне духа, что ясно на основании тех принципов, которыми то же самое доказывается относительно всех прочих ощущаемых предметов. И мы найдем, может быть, при ближайшем исследовании, что не в состоянии даже составить идею чистого пространства с отвлечением от всякого тела. Эта идея, я должен сознаться, кажется мне превышающей мою способность, как идея наиболее абстрактная. Когда я вызываю движение в какой-либо части моего тела и это движение происходит свободно и без сопротивления, то я говорю, что здесь "пространство"; когда же я встречаю препятствие, то говорю, что здесь тело; и в той мере, в какой сопротивление движению слабее или сильнее, я говорю, что пространство более или менее чисто. Так что, когда я говорю о чистом или пустом пространстве, не следует предполагать, что словом "пространство" обозначается идея, отличная от тела и движения или мыслимая без них, хотя, конечно, мы склонны думать, что каждое ими существительное выражает определенную идею, которую можно отделить от всех прочих, что служило поводом для множества заблуждений. Следовательно, если предположить, что все в мире уничтожено, за исключением моего собственного тела, то я скажу, что все-таки остается чистое пространство, подразумевая тем самым не что иное, как возможность мыслить, что члены моего тела могут двигаться по всем направлениям, не встречая никакого сопротивления; но если бы и мое тело было уничтожено, то не могло бы быть движения, а следовательно, и пространства. Может быть, иные подумают, что зрение снабдит их в таком случае идеей чистого пространства, но из сказанного в другом месте ясно, что идеи пространства и расстояния приобретаются не из этого рода ощущений (см. "Опыт о зрении"). 
117. Изложенное здесь покончило, по-видимому, со всеми спорами и затруднениями, возникавшими среди ученых относительно природы чистого пространства. Но главная выгода, вытекающая отсюда, заключается в освобождении нас от опасной дилеммы, в которую считали себя вовлеченными многие [17] из обративших свои мысли на этот предмет, т.е. от необходимости признать, что реальное пространство есть бог или что существует нечто кроме бога вечное, несотворенное, бесконечное, неделимое, неизменное, из которых оба предположения должны быть по справедливости признаны вредными и нелепыми. Известно, что немало как богословов, так и выдающихся философов из затруднительности для них мыслить границы пространства или его уничтожение, пришли к тому заключению, что оно должно быть божественным. И в новейшее время некоторые особенно старались доказать, что оно совпадает с атрибутами, не принадлежащими никому, кроме бога. И как бы это учение ни казалось недостойным божественной природы, но я должен сознаться, что не вижу, как мы можем избавиться от него, пока придерживаемся общепринятых мнений. 
118. До сих пор шла речь о естествознании; теперь мы обратимся к некоторому исследованию, касающемуся другой великой области умозрительного зрения, а именно математики. Как бы ни прославляли ясность и несомненность доказательств, равных которым едва ли возможно найти где-либо вне ее, тем не менее ее нельзя считать совершенно свободной от ошибок, так как в ее принципах заключается некоторое скрытое заблуждение, общее деятелям этой науки с другими людьми. Хотя математики выводят свои теоремы из весьма очевидных основоположений, тем не менее их первые принципы не выходят за пределы рассмотрения количества, и они не возвышаются до исследования тех трансцендентальных положений, которые оказывают влияние на все частные науки; каждая часть их, не исключая математики, должна, следовательно, страдать ошибками, допущенными в эти положения. Что принципы, выставляемые математиками, истинны, что их способ выводов из этих принципов ясен и неоспорим, мы не отрицаем, но мы утверждаем, что могут существовать известные ошибочные положения большего объема, чем предмет математики, и потому не выраженные ясно, но скрытно предполагаемые во всем Движении этой науки, и что вредное действие этих скрытых, неисследованных заблуждений простирается на все отрасли математики. Выражаясь яснее, мы предполагаем, что математики не менее глубоко, чем другие люди, погружены в заблуждения, вытекающие из учения об общих абстрактных идеях и о существовании предметов вне духа. 
119. Полагали, будто арифметика имеет предметом абстрактные числа, понимание свойств и взаимных отношений которых считается немалой частью умозрительного знания. Мнение о чистой и духовной природе абстрактных чисел очень возвысило уважение к ним в глазах таких философов, которые, по-видимому, притязают на необыкновенную тонкость и возвышенность мышления. Это мнение придало цену самым пустым умозрениям над числами, не имеющим никакого применения на практике, но служащим только для забавы, и тем самым столь заразило некоторые умы, что они стали мечтать о великих тайнах, заключающихся в числах, и объяснять посредством них вещи природы. Но если мы ближе вникнем в свои собственные мысли и продумаем то, что было сказано ранее, то мы, быть может, придем к низкому мнению об этих высоких полетах мысли и абстракциях и станем смотреть на все умозрения о числах, лишь как на difficiles nugae [18], поскольку они не служат практике и не идут на пользу жизни. 
120. Мы уже рассматривали выше, в §13, единицу в ее абстрактном значении; из того, что сказано там и во введении, ясно следует, что такой идеи вовсе не существует. Но так как число определяется как совокупность единиц, то мы вправе заключить, что если нет такой вещи, как абстрактная единица, то нет и идей абстрактных чисел, обозначаемых именами цифр и форм. Поэтому арифметические теории, если они мыслятся в абстракции от имен и форм, а также от всякого практического применения, равно как и от частных считаемых вещей, могут быть признаны не имеющими никакого предметного содержания; из чего мы можем усмотреть, насколько наука о числах всецело подчинена практике и в какой мере она становится узкой и пустой, когда рассматривается только как предмет умозрительный. 
121. Но так как есть люди, которые, будучи обмануты ложным блеском открытия абстрактных истин, теряют время над арифметическими теориями и задачами, не приносящими никакой пользы, то не будет лишним более полное рассмотрение и раскрытие тщетности этого притязания; она станет для нас ясной, если мы бросим взгляд на арифметику в ее младенчестве и посмотрим, что первоначально побудило людей к изучению этой науки и к какой цели они его направляли. Естественно думать, что сначала люди для облегчения памяти и как пособие при счете употребляли отметки, а при письме - отдельные черточки, точки и т.п., причем каждый знак обозначал единицу, т.е. известную отдельную вещь любого рода, которую надо было сосчитать. Позднее они сочли удобнее, чтобы один знак заменял собой несколько черточек или точек. И, наконец, вошли в употребление арабские или индийские цифры, какими, путем повторения нескольких немногих знаков или цифр и изменения значения каждой цифры, смотря по занимаемому ею месту, все числа могут быть обозначены самым соответственным образом, что произошло, по-видимому, в подражание языку, так что наблюдается точное сходство между обозначением цифрами и словами, причем девять простых цифр соответствуют первым девяти названиям чисел, а места первых - названиям разрядов последних. И соответственно этим условиям основного и местного значения цифр были придуманы методы находить по данным цифрам или знакам, обозначающим части, какие цифры и в каком расположении способны обозначать целое и наоборот. А когда найдены искомые цифры и то же самое правило или та же самая аналогия наблюдается повсюду, то легко при чтении заменять их словами, и число становится таким образом вполне известным. Ибо число каких бы то ни было отдельных вещей считается известным тогда, когда мы знаем название или цифру числа с их надлежащим расположением, которые соответствуют этому числу, согласно твердо установленной аналогии. Потому что, зная эти знаки, мы можем при помощи арифметических действий узнать знаки любой части обозначенных ими сумм; и таким образом, считая знаками, мы можем вследствие связи, установленной между ними и определенным количеством вещей, из которых каждая принимается за единицу, стать способными правильно их складывать, делить и устанавливать пропорциональность самих вещей, подлежащих счету. 
122. Итак, в арифметике мы рассматриваем не вещи, а знаки, которые, однако, подвергаются исследованию не ради их самих, но потому, что они показывают нам, как следует поступать относительно вещей и правильно ими распоряжаться. Но согласно с тем, что уже было замечено нами о словах вообще (§19 Введения), здесь также оказывается, что абстрактные идеи мыслятся обозначаемыми через знаки или названия чисел, так как последние не возбуждают в наших умах идей отдельных вещей. Я не намерен теперь вдаваться в более специальное рассуждение по этому предмету, но замечу только, что из сказанного выше ясно видно, что то, что признается за абстрактные истины и теоремы относительно чисел, в действительности не относится ни к какому предмету, отличному от отдельных исчисляемых вещей, за исключением лишь имен и цифр, которые первоначально рассматривались только в смысле знаков, способных обозначать соответствующим образом все отдельные вещи, подлежащие человеческому счету. Из чего следует, что изучать их ради них самих значило бы поступать так же мудро и с таким же благим намерением, как если бы кто-нибудь, пренебрегая надлежащим употреблением или первоначальной целью и задачами языка, стал тратить свое время на непристойную критику слов или чисто словесные соображения и споры. 
123. От числа мы переходим теперь к разговору о протяжении, составляющем предмет геометрии. Бесконечная делимость конечного протяжения, хотя она не выражается прямо ни как аксиома, ни как теорема в принципах этой науки, везде ею предполагается и мыслится в такой неразрывной и существенной связи с принципами и доказательствами геометрии, что математики никогда не подвергают ее сомнению или вопросу. И в той же мере, в какой именно это понятие есть источник, откуда вытекают все те забавные геометрические парадоксы, которые находятся в таком прямом противоречии с обычным человеческим здравым смыслом и лишь с большим сопротивлением принимаются умом, не развращенным ученостью, оно служит главным поводом той чрезмерной утонченности, которая делает изучение математики столь трудным и скучным. Поэтому, если мы окажемся в состоянии показать, что никакое конечное протяжение не содержит бесконечного числа частей или не делимо до бесконечности, то отсюда следует, что мы однажды навсегда освободим науку геометрии от множества затруднений и противоречий, которые всегда считались упреком человеческому разуму, и вместе с тем сделаем изучение ее делом несравненно меньшего времени и труда, чем это было до сих пор. 
124. Каждое отдельное конечное протяжение, которое может служить предметом нашего мышления, есть идея, существующая лишь в нашем уме, и, следовательно, любая его часть должна быть воспринимаема. Если поэтому я не могу воспринять бесконечное множество частей в каком-либо конечном, рассматриваемом мной, протяжении, то несомненно, что они в нем не содержатся; но очевидно, что я не в состоянии различить бесчисленное множество частей в отдельной линии, поверхности или теле, воспринимаю ли я их в ощущении или представляю себе в моем уме, из чего заключаю, что они не содержатся там. Ничто не может быть для меня яснее того, что рассматриваемые протяжения суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить какую-либо из своих идей на бесконечное число других идей, т.е. что они не делимы до бесконечности. Если под конечным протяжением подразумевается нечто отличное от конечной идеи, то я объявляю, что не знаю, что это такое, и, следовательно, не могу ни утверждать, ни отрицать чего-либо о нем. Но если термины "протяжение", "части" и т.п. берутся в понятном смысле, т.е. в смысле идей, то сказать, что конечная величина или конечное протяжение состоит из частей бесконечных по числу, есть столь явное и вопиющее противоречие, что каждый с первого взгляда признает его за таковое; и невозможно, чтобы с этим мнением когда-либо согласилось какое-нибудь разумное существо, если только оно не будет подготовлено к нему постепенными незначительными переходами, как новообращенный язычник к вере в пресуществление. Старые и закоренелые предрассудки часто приобретают значение принципов, а такие положения, которые раз приобрели силу и значение принципов, не только сами, но вместе с ними и все то, что может быть из них выведено, считаются изъятыми из исследования. И нет такой бессмыслицы, которая не могла бы быть принята, если ум таким образом к ней подготовлен. 
125. Тот, чей ум находится под господством учения об абстрактных общих идеях, легко может быть убежден в том, что (как бы ни мыслить об идеях ощущений) абстрактное протяжение делимо до бесконечности. И всякий, кто полагает, что ощущаемые предметы существуют вне духа, не затруднится утверждать, что линия длиной всего в дюйм может заключать в себе бесчисленное множество частей, которые действительно существуют, хотя слишком малы, чтобы быть различаемы. Эти заблуждения укоренились в умах как геометров, так и прочих людей и оказывают одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как доказательства, употребляемые геометрией в подтверждение бесконечной делимости протяжения, основываются на этих заблуждениях. Но об этом, если то окажется необходимым, мы можем найти удобный случай поговорить особо. Теперь мы только в целом укажем, почему все математики так преисполнены этим учением и упорны в нем.




§126-156
126. Было замечено в другом месте (§15 Введ[ения]), что теоремы и доказательства геометрии касаются общих идей, причем было объяснено, в каком смысле это следует понимать, а именно в том, что отдельные линии и фигуры в чертеже предполагаются заменяющими бесчисленное множество других линий и фигур различной величины, или, иными словами, геометр рассматривает их, отвлекая от них величины, что подразумевает не то, что он образовал абстрактную идею, а только то, что он не заботится о величине,