Страницы: -
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
9 -
10 -
11 -
12 -
13 -
14 -
15 -
16 -
а 20 кренделей больше,
чем у Сони. Следовательно, 5 порций крендельков соответствует 20
кренделькам и 1 порцию составляют 4 кренделька. Таким образом, Соне
досталось 4 кренделька, Мартовскому Зайцу - 8 крендельков и Болванщику
- -- 24 кренделька, то есть на 20 крендельков больше, чем Соне.
27. Возмездие. После того как Мартовский Заяц съел 5/16 кренделей, на
тарелке осталось 11/16. Соня съела 7/11 оставшихся кренделей, то есть 7/11
от 11/16. Так как 7/11*11/16=7/16, Соня съела 7/16 всех кренделей. Вместе
с Мартовским Зайцем, съевшим 5/16 всех кренделей, они съели вдвоем
7/16+5/16= 12/16, то есть 12/16 всех кренделей.
Болванщику они оставили 4/16, или 1/4, кренделей.
Поскольку Болванщику досталось 8 кренделей, эти 8 кренделей составляют
1/4 всех кренделей. Следовательно, всего было 32 кренделя. От 32 кренделей
1/16 составляет 2 кренделя, а 5/16 - 10 кренделей. Следовательно,
Мартовский Заяц съел 10 кренделей, после чего на тарелке осталось 22
кренделя.
Затем Соня съела 7/11 от 22 оставшихся кренделей, что составляет 14
кренделей (так как 1/11 от 22 кренделей равна 2 кренделям, а 7/11 - 14
кренделям). На тарелке осталось 8 кренделей для Болванщика, так что все
сходится.
28. Сколько фаворитов? Эта задача, обычно решаемая с помощью алгебры,
очень проста, если подойти к ней следующим образом. Раздадим сначала по 3
кренделя каждому из 30 гостей Королевы. У нас останется 10 кренделей. При
этом все нефавориты получат все крендели, которые им причитаются, а
каждому из фаворитов еще предстоит получить по 1 кренделю.
Следовательно, все оставшиеся крендели предназначаются фаворитам - по
1 кренделю каждому фавориту. Значит, фаворитов должно быть 10.
Проверка. Каждый из 10 фаворитов должен получить по 4 кренделя, что
составляет 40 кренделей на всех фаворитов.
Каждый из остальных 20 гостей получит по 3 кренделя, что составляет еще
60 кренделей. 40+60=100. Следовательно, наше решение правильно.
29. Крендели и крендельки. Так как каждый крендель стоит столько,
сколько один кренделек, то 7 кренделей стоят столько же, сколько 21
кренделек, а 7 кренделей и 4 кренделька - столько же, сколько 25
крендельков. С другой стороны, 4 кренделя и 7 крендельков стоят столько,
сколько 19 крендельков (так как 4 кренделя стоят столько же, сколько 12
крендельков). Таким образом, разность в стоимости 25 и 19 крендельков
составляет 12 центов. Значит, 6 крендельков (25-19=6) стоят 12 центов, 1
кренделек - 2 цента, а 1 крендель - 6 центов.
Проверка. 4 кренделя и 7 крендельков стоят 24+14=38 центов, а 7
кренделей и 4 кренделька стоят 42+8=50 центов, то есть действительно на 12
центов дороже, чем в первом случае.
30. В гостях у Герцогини, кухарки и Чеширского Кота.
Чеширский Кот должен обнаружить на подносе 2 кренделя:
после того как он съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе
не останется ничего. Соня должна обнаружить на подносе 6 кренделей: после
того как она съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе
останется 2 кренделя для Чеширского Кота. Мартовский Заяц увидел на
подносе 14 кренделей: после того как он съел 7 кренделей и еще 1 крендель,
на подносе осталось 6 кренделей. Болванщик увидел 30 кренделей: после того
как он съел 15 кренделей и еще 1 крендель, на подносе осталось 14
кренделей.
Таким образом, сначала на подносе было 30 кренделей.
31. Сколько дней работал садовник? Работая добросовестно, садовник
может заработать самое большее 3*26=78 кренделей.
Он заработал только 62 кренделя. Значит, 16 кренделей, он не получил
из-за того, что отлынивал от работы. Каждый день, который садовник
отлынивал от работы, он теряет 4 кренделя (разность между 3 кренделями,
которые мог бы получить за добросовестную работу, и 1 кренделем, который
взыскивается с него за безделье). Следовательно, садовник отлынивал от
работы 4 дня и работал добросовестно 22 дня.
Проверка. За 22 добросовестно отработанных дня садовник заработал 66
кренделей. За 4 дня, которые он отлынивал от работы, садовник вернул 4
кренделя. Таким образом, всего он получил 62 кренделя. 32. В котором часу?
Неправильный ответ, который обычно приходится слышать: в 6 часов.
Правильный ответ: в 5 часов.
В 5 часов первый удар часов Королевы совпадает с первым ударом часов
Короля. Второй удар часов Королевы приходится по времени на третий удар
часов Короля. Третий удар часов Королевы совпадает с пятым ударом часов
Короля. На этом бой часов Короля заканчивается, а часы Королевы еще должны
пробить 2 раза.
33. Сколько человек заблудилось в горах? Назовем одной порцией
количество припасов, которое один человек съедает за день. У 9 человек
первоначально было 45 порций (запас провизии на 5 дней). На второй день у
них осталось только 36 порций. На второй же день они повстречали вторую
группу, и 36 оставшихся порций хватило всем на 3 дня.
Следовательно, всего должно было быть 12 человек. Значит, во второй
группе было 3 человека. 34. Сколько пролито воды? На пятый день, когда
вода была пролита, ее оставалось на 8 дней. Пролитой воды хватило бы
погибшему на 8 дней.
Следовательно, пролито было 8 кварт воды.
35. Скоро ли на свободу? Когда тюремный надзиратель станет вдвое старше
узника, разность их возрастов будет равна возрасту узника. Но разность
возрастов не зависит от времени и по истечении срока заключения будет
такой же, как сейчас, то есть равной 29 годам. Следовательно, в день
выхода на свободу узнику исполнится 29 лет, а тюремному надзирателю,
который вдвое старше, 58 лет.
Таким образом, узнику осталось провести в темнице еще 4 года.
36. Долго ли выбраться из колодца? Те, кто думают, что лягушка
выберется из колодца за 30 дней, ошибаются: лягушка могла бы выбраться из
колодца к вечеру на 28-й день.
Действительно, утром на 2-й день лягушка находится на высоте 1 фут над
дном колодца, утром на 3-й день - на высоте 2 фута и т. д. Наконец,
утром на 28-й день лягушка находится на высоте 27 футов над дном колодца.
К вечеру того же дня она достигнет верха и вылезет из колодца, после чего
ей уже не придется соскальзывать вниз.
37. Успеет ли велосипедист на поезд? Велосипедист рассуждал неверно: он
усреднял расстояния, а не время. Если бы со скоростью 4 мили в час, 8 миль
в час и 12 миль в час он двигался одно и то же время, то его средняя
скорость действительно составила бы 8 миль в час, но большую часть времени
он затратил на подъем в гору (со скоростью 4 мили в час), а меньшую - на
спуск под гору (со скоростью 12 миль в час).
Нетрудно подсчитать, сколько времени он пробыл в пути.
Подъем в гору занял у него 1 ч, полчаса (или 30 мин) он затратил на
передвижение по ровному участку дороги и треть часа (или 20 мин) на спуск
под гору. Всего в пути он пробыл 1 ч 50 мин, опоздав к поезду на 20 мин.
38. Не опоздал ли пассажир на поезд? На первую станцию пассажир прибыл
через минуту после того, как ушел поезд.
Десять миль в час - это одна миля за 6 мин или полторы мили за 9 мин.
Таким образом, на следующую станцию поезд прибыл через 8 мин после того,
как пассажир прибыл на первую станцию. На следующей станции поезд стоял 14
1/2 мин, поэтому у пассажира было в запасе 22 1/2 мин, чтобы успеть сесть
на поезд на следующей станции. Четыре мили в час - это 1 миля за 15 мин,
или полторы мили за 22 1/2 мин. На следующую станцию пассажир прибудет как
раз вовремя, чтобы успеть сесть на поезд.
39. Далеко ли до школы? Разница во времени между опозданием на 5 мин и
приходом за 10 мин до начала урока составляет 15 мин. Следовательно, если
мальчик будет идти в школу со скоростью 5 миль в час, то он сэкономит 15
мин (по сравнению с тем, сколько он затратил бы на дорогу, если бы шел со
скоростью 4 мили в час). Пять миль в час - это одна миля за 12 мин, а 4
мили в час - это 1 миля за 15 мин. Следовательно, идя быстрее, мальчик
экономит по 3 мин на каждой миле, а 15 мин - на расстоянии 5 миль.
Значит, школа находится в 5 милях от дома.
Проверка. Идя со скоростью 5 миль в час, мальчик затрачивает на дорогу
один час, а идя со скоростью 4 мили в час, - час с четвертью (за час он
проходит первые 4 мили, а за четверть часа - последнюю милю), то есть 1
ч 15 мин. Разница по времени действительно составляет 15 мин.
40. Разве не печально? История действительно немного печальная, так как
при подсчете барышей и убытков торговец произведениями искусства
просчитался: в тот день он не только ничего не заработал, но и потерпел
убыток в 20 долларов.
Попробуем разобраться, почему так получилось. Первую картину он продал
с 10%-ной прибылью. От продажи ее он выручил 990 долларов. За сколько он
купил ее? Так как прибыль составляет 10% не от 990 долларов, а от
первоначальной стоимости картины, то 990 долларов - это 110% от
первоначальной стоимости картины, или 11/10).
Следовательно, за картину торговец заплатил 10/11 от 990, то есть 990
долларов.
[Проверка. За картину торговец заплатил 900 долларов, 10% от 900
составляют 90 долларов, поэтому от продажи картины он выручил 990
долларов, получив при этом прибыль 90 долларов.] А как обстоит дело со
второй картиной? От продажи ее торговец потерял 10% от ее первоначальной
стоимости, поэтому вторую картину он продал за 90%, или 9/10, от ее
первоначальной стоимости. Следовательно, при покупке второй картины
торговец заплатил за нее 10/9 от 990 долларов, то есть 1100 долларов.
[Проверка. За вторую картину торговец заплатил 1100 долларов, 10% от
1100 составляют 110 долларов, поэтому он продал ее за 1100-110=990
долларов.] Таким образом, от продажи второй картины он потерпел убыток в
110 долларов, а от продажи первой картины получил прибыль всего 90
долларов. Следовательно, в тот день он потерял всего 20 долларов.
41. Кто старше? Прежде всего вычислим, через сколько дней часы
Болванщика и Мартовского Зайца покажут одно и то же время. Так как часы
Мартовского Зайца отстают с такой же скоростью, с какой спешат часы
Болванщика, то в следующий раз они покажут одно и то же время, когда часы
Болванщика уйдут вперед на 6 ч, а часы Мартовского Зайца отстанут на 6 ч.
(На тех и других часах будет 6 ч, причем и те и другие часы будут
показывать неверное время.) За сколько дней часы Болванщика уйдут вперед
на 6 ч. За час они уходят вперед на 10 с, за 6 ч - на 1 мин, за сутки
- на 4 мин, за 15 суток - на 1 ч, за 90 суток (дней на календаре) -
на 6 ч. Таким образом, через 90 дней на часах Болванщика и Мартовского
Зайца стрелки снова будут показывать одно и то же время.
Нам неизвестно, в какой из дней января Болванщик и Мартовский Заяц
поставили на своих часах точное время.
Но если бы это произошло в любой из дней, кроме 1 января, то день,
когда часы Болванщика и Мартовского Зайца в следующей раз покажут одно и
то же время (а это событие, как мы установили, произойдет через 90 дней),
пришелся бы не на март, а на апрель (или даже на май). Следовательно,
Болванщик и Мартовский Заяц могли сверить свои часы только 1 января. Но
даже в этом случае их часы покажут в следующий раз одно и то же время в
марте только при условии, если год високосный! (В этом читатель без труда
убедится с помощью календаря: через 90 дней после 1 января в обычный год
наступает 1 апреля, а в високосный год - 31 марта!) Тем самым доказано,
что 21 день рождения Мартовского Зайца приходится на високосный год.
Следовательно, Мартовский Заяц мог родиться в 1843, а не в 1842 году или
1844 году.
(Через 21 год после 1843 года наступает високосный 1864 год.) По
условиям задачи только один из двух (либо Мартовский Заяц, либо Болванщик)
родился в 1842 году.
Следовательно, в 1842 году родился Болванщик. Значит, Болванщик старше
Мартовского Зайца.
Глава 5
42. Появление первого шпиона. C заведомо не может быть рыцарем, так как
ни один рыцарь не стал бы лгать и утверждать, будто он шпион.
Следовательно, C либо лжец, либо шпион. Предположим, что C шпион. Тогда
показание A ложно, значит, A шпион (A не может быть шпионом, так как шпион
C) и рыцарем может быть только B. Но если B рыцарь, то как он мог дать
ложные показания, утверждая, будто A рыцарь? Следовательно, предположение о
том, что C шпион, приводит к противоречию. Значит, C лжец. Тогда показание
B ложно, поэтому B либо лжец, либо шпион. Но так как лжец B, то шпионом
должен быть A. Следовательно, A может быть только рыцарем. Итак, A рыцарь,
B шпион и C лжец. 43.
Глупый шпион. Ложное заявление, изобличающее шпиона, могло быть,
например, таким: "Я лжец".
Рыцарь никогда не лжет и поэтому не станет утверждать о себе, будто он
лжец. С другой стороны, лжец никогда не говорит правды и не станет
признаваться, что он лжец.
Только шпион может сделать ложное признание, будто он лжец.
44. Еще один глупый шпион. Истинное заявление, изобличающее шпиона,
могло быть, например, таким: "Я не рыцарь".
Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое.
Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец
всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое
заявление мог бы сделать только шпион.
45. Хитрый шпион. Если бы A ответил на вопрос судьи "да", то тем самым
он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы
рассуждать следующим образом:
"Предположим, что B шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые
показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, B не
может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому B лжец. Показание
C также ложно, а поскольку C не лжец (ибо лжец B), то он шпион".
Таким образом, если бы на вопрос судьи C ответил "да", то он был бы
изобличен как шпион. Зная это, C благоразумно ответил "нет", лишив тем
самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду
удалось лишь установить, что либо C рыцарь, а B шпион, либо C лжец, а A
шпион, либо C шпион.)
46. Кто Мердок? Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец,
либо шпион. Аналогичным образом, так как C утверждает, что он шпион, C
либо лжец, либо шпион.
Следовательно, из двух подсудимых A и C один лжец, а другой шпион.
Значит, B рыцарь и дал на суде правдивые показания:
A шпион.
47. Возвращение Мердока. Если A Мердок, то все три показания истинны,
что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если C Мердок, то
все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих
подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть B.
48. Более интересный случай. Задачу невозможно было бы решить, если бы
в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как
на него указал C: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих
шпион, и это весьма важная "зацепка"!
Предположим, что C обвинил A в том, что тот шпион.
Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку
они позволяют лишь утверждать, что либо A шпион, B лжец и C рыцарь либо B
шпион, A рыцарь и C лжец, либо C шпион, A лжец и B рыцарь.
Таким образом, если C указал на A как на шпиона, то судья не мог бы
изобличить настоящего шпиона.
Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы C указал на B.
Тогда B обвиняли бы в том, что он шпион, двое: A и C.
Выдвинутые A и C обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы
они были оба истинны, то B действительно был бы шпионом, а так как A и C
оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями ("вакансия"
шпиона занята B). Но по условиям задачи среди подсудимых A, B и C не может
быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные B обвинения в шпионаже
ложны. Значит, B не шпион. Мог бы A быть шпионом? Нет, так как если бы A
был шпионом, то взаимные обвинения B и C в шпионаже были бы ложны.
Следовательно, B и C были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям
задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион C (B, обвинивший C в
шпионаже, рыцарь, а A, обвинивший B, лжец).
Итак, если C указал на A как на шпиона, то судья не смог бы установить,
кто из троих в действительности шпион. Но если C указал на B, то судья
смог бы решить что шпион C. А так как судья знал, на кого показал A, то C
должен был указать на B, и судья на основании полученных данных изобличил
C в шпионаже.
49. Еще более интересный случай. Мы не знаем, что ответили A и B,
поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая: 1) A и B оба
сказали "да":
2) A сказал "нет", B сказал "да"; 3) A сказал "да", B сказал "нет"; 4)
A и B оба сказали "нет".
Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах,
поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.
Случай 1: A и B оба сказали "да". Так как A утверждает, что он шпион,
то A либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если
A лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал., что занимается
шпионажем. Следовательно, B солгал, утверждая, что A сказал правду.
Значит, B не рыцарь, а поскольку A лжец, то B шпион, и, наконец, C должен
быть рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь.
Предположим теперь, что A шпион. Тогда он сказал правду, поэтому B,
утверждая, что A сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно,
B должен быть рыцарем. Но тогда C может быть только рыцарем. Таким
образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь. Запишем оба возможных
варианта (1а и 1б)
случая 1 в следующем виде:
A B C
1а Рыцарь Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец
Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да". Так как A отрицает, что он
шпион, то A либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе,
что он шпион). Если A рыцарь, то он сказал правду. Значит, B также сказал
правду, когда заявил, что A сказал правду, поэтому B не может быть лжецом.
Следовательно, B должен быть шпионом. Но тогда C может быть только
лжецом.
Если A шпион, то он солгал. Следовательно, B также солгал, когда
утверждал, что A сказал правду. Значит, B лжец, и тогда C может быть
только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 2б) запишем в
следующем виде:
A B C
2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь
Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет". Так как A утверждает о себе,
что он шпион, то (как и в случае 1) A должен быть лжецом или шпионом. Если
A лжец, то он солгал, но тогда B сказал правду. Значит, либо B рыцарь (и C
шпион), либо B шпион (и C рыцарь). Если A шпион, то он сказал правду, но
тогда B солгал. Значит, B лжец и C рыцарь. Таким образом, в случае 3
возможны три варианта:
A B C
3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь
Случай 4: A и B оба сказали "нет". Так как A отрицает, что он шпион, то
(как в случае 2) A либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что A рыцарь.
Тогда A сказал правду, а B солгал. Следовательно, B лжец (а C шпион) или B
шпион (а C лжец). Предположим, что A шпион. Тогда он сказал правду.
Значит, B также сказал правду, поэтому B рыцарь (а C лжец). Таким образом,
в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):
A B C
4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец
Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.
Случай 1: A и B оба сказали "да"
A B C
1а Лжец Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец
Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да"
A B C
2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь
Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет"
A B C
3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь
Случай 4: A и B оба сказали "нет"
A B C
4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец
Обратимся снова к условиям задачи. После того как A и B ответили на
вопросы судьи, тот сумел установить, что C не шпион. В случае 3 судья не
мог бы установить, шпион ли C или рыцарь. В случае 4 судья не смог бы
установить, шпион ли C или лжец. Но судья со всей определенностью заявил,
что C не шпион. Значит, случаи 3 и 4 отпадают и остается либо случай 1,
либ