чтобы не
вставить здесь одну историю из более позднего времени.

Являются ли папы и дедушки мужчинами, а мужчины - людьми?

Перед нами лежали на столе три фигурки из картона (рисунок 4). Мы детально
и обстоятельно обсуждаем их все вместе и по отдельности. У всех фигурок -
по четыре угла. Значит, каждую из них мы можем назвать четырехугольником.
Итого: у нас есть три четырехугольника. При этом два из них отличаются тем,
что у них все углы прямые. За это их называют прямоугольниками. Один из
двух прямоугольников особый: у него стороны одинакового размера. Его
называют квадратом. У квадрата как бы три имени: его можно назвать и
квадратом, и прямоугольником, и четырехугольником - и все будет правильно.

Моя информация встречается не без сопротивления. Дети упорно стремятся
мыслить в понятиях непересекающихся классов. А характер их объяснений
внушает подозрение в том, что они еще не осознали по-настоящему великий
закон "целое больше своей части". Десять минут назад они спорили о том,
являются ли папы и дедушки мужчинами, а мужчины - людьми. Сейчас они никак
не соглашаются называть квадрат прямоугольником: уж или одно, или другое. Я
провожу настоящую агиткампанию за равноправие квадрата среди всех
прямоугольников. Постепенно моя пропаганда начинает действовать. Мы еще раз
подводим итог: сколько у нас квадратов? - Один. - А прямоугольников? - Два.
- А четырехугольников? - Три.

Казалось бы, все хорошо. И я задаю последний вопрос, помните, тот, из
начала статьи: "А чего вообще на свете больше - квадратов или
четырехугольников?" - "Квадратов!" - дружно и без тени сомнения отвечают
дети. "Потому что их легче вырезать", - объясняет Дима. "Потому что их
много в домах, на крыше, на трубе", - объясняет Женя.

Вопросы важнее ответов

Такова завязка этой истории. А развязка произошла через полтора года, без
всякой подготовки и даже без всякого внешнего повода. Летом на прогулке в
лесу Дима неожиданно сказал мне: "Папа, помнишь, ты давал нам задачу про
квадраты и четырехугольники - чего больше. Так, мне кажется, мы тогда тебе
неправильно ответили. На самом деле больше четырехугольников". И дальше
довольно толково объяснил, почему. С тех пор я исповедую принцип: вопросы
важнее ответов.

Почему дети, которых ничему не учат,
 все же продвигаются вперед?

...Психологи проводили и продолжают проводить множество экспериментов,
пытаясь научить детей некоторым первоначальным математическим
закономерностям. Например, делают так. Сначала группу ребят проверяют,
понимают ли они такую простую вещь: если кусок пластилина помять, раскатать
и вообще придать ему другую форму, то количество пластилина от этого не
изменится. Тех, кто этого не понимает, делят на две части. Одну оставляют
"свободной" - это так называемая контрольная группа. А другую начинают
обучать закону сохранения количества вещества: показывают, объясняют,
взвешивают, сравнивают. Недели через две опять проверяют участников обеих
групп, смотрят, кто чему научился. Чаще всего в результате оказывается, что
прогресс в обеих группах весьма незначительный и при этом совершенно
одинаковый. Обычно психологи недоумевают: почему же дети, которых так
старательно обучали, так ничему и не научились?

Я, читая отчеты об этих экспериментах, задал себе противоположный вопрос:
почему дети, которых ничему не учили (контрольная группа), тоже чуть-чуть
продвинулись вперед? Теперь, после нескольких лет занятий с малышами, могу
предложить свою гипотезу: потому что им тоже задавали вопросы.

Как же поспеть одному на всех?..

Однако вернемся на наше занятие. Следующая задача - еще одна вариация на ту
же тему сохранения количества предметов. Те самые шесть спичек, которые еще
остались на столе после предыдущей задачи, раскладываются в рядок. Я прошу
к каждой спичке положить пуговицу (рисунок 5).

Стандартный вопрос: "Чего больше - спичек или пуговиц?" - "Поровну". -
"Значит, пуговиц столько же, сколько спичек", - резюмирую я.

Забираю все пуговицы в кулак и прошу сказать, сколько у меня в кулаке
спрятано пуговиц.

Характерно, что никто не делает ни малейшей попытки подсчитать спички. Да и
зачем, в самом деле? Ведь спрашивают про пуговицы - значит, и считать нужно
пуговицы. Дима как человек со мной на самой близкой ноге пытается разжать
мой кулак, другие удивленно спрашивают: "Как же мы можем их сосчитать?" Я
смеюсь: "Сосчитать, конечно, нельзя - пуговицы прятаны. Но попробуйте
как-нибудь угадать".

Тогда на меня обрушивается настоящий шквал отгадок, чаще всего ни на чем не
основанных.
Женя

Каждый кричит что-то свое; при этом один лишь Женя кричит правильный ответ.
Я пытаюсь его выслушать, спросить, почему. Но он ретируется. Жене вообще
часто мешает робость. Пока все кричат хором, перебивая друг друга, он,
пожалуй, чаще других кричит правильный ответ. Но стоит всех утихомирить и
обратиться лично к нему, как он смущается и уходит в себя.
Андрюша

С Андрюшей - другая проблема. Он мальчик очень целеустремленный, и на наших
занятиях ему явно не хватает мотивации. Когда я в следующий раз предложил
ту же задачу в другой аранжировке - уже были не пуговицы со спичками, а
солдаты с ружьями, потом они ушли, ружья остались, и теперь разведчику
нужно узнать, сколько было солдат, - вот тогда он первым догадался, что
можно сосчитать ружья. И еще он любит игры, в которых кто-то должен выйти
победителем. Но у меня не всегда хватает фантазии представить задачу в
подходящей форме. Тем более, что другие этого вовсе не требуют.

Дима и Петя

Дима, например, вообще не любит решать чужие задачи, а любит придумывать
свои. С трудом я подобрал к нему ключик - стал говорить примерно так:
"Придумай задачу, в которой было бы..." - и дальше излагаю свое условие. К
тому же решения его часто отличаются какой-то странной вычурностью
(особенно это будет видно в следующей задаче); его довольно трудно ввести в
колею здравого смысла. И с Петей тоже, конечно, свои сложности.

Дирижер или жонглер?

Как же мне поспеть-то одному на всех?.. Боже мой, у меня всего четыре
ученика, и я не могу обеспечить индивидуальный подход! Что же может сделать
учитель, у которого сорок человек в классе?.. Учителя часто любят
сравнивать с дирижером. Я сам себе кажусь похожим скорее на жонглера, у
которого вот-вот все рассыплется по арене. Так и сейчас, пока я пытаюсь
беседовать с Женей - что да почему, Дима уже вытащил карточку для
следующего задания ("Четвертый - лишний") и спрашивает: "Папа, а это что,
следующая задача?" Остальные двое уже рвут у него карточки из рук и
безжалостно мнут их при этом, не щадя вечернего родительского труда. Женя
уже тоже косится в их сторону. Я разжимаю кулак, мы бегло проверяем,
сколько пуговиц, и переходим к следующей задаче.

Услышать от ребенка правильное объяснение
 важнее, чем получить от него правильный ответ

Правила игры "Четвертый - лишний" общеизвестны. Детям дают четыре карточки,
на которых изображены или такие фигуры, как на рисунке 6, или нарисованы,
например, заяц, ежик, белка и чемодан. Нужно сказать, какой из этих
рисунков лишний.

Забавно наблюдать, как дети почти всегда дают правильный ответ, хотя далеко
не всегда могут его объяснить. "Лишний - чемодан". - "Почему?" - "Потому
что он не заяц, не ежик и не белка". - "Ах, вот как! А по-моему, лишний
заяц. Потому что он не ежик, не белка и не чемодан!" Мальчики смотрят на
меня в недоумении и заявляют настойчиво: "Нет, лишний - чемодан!"

Я пытаюсь узнать, нельзя ли все три не-лишних предмета - зайца, ежика и
белку - назвать одним общим словом. Наконец Петя, который по словарному
запасу опережает остальных, первый находит нужное слово - "животные". И в
дальнейшем он часто выручал нас в этой ситуации.


Лишние выстраиваются в очередь

Между прочим, я даю также и задачи с неоднозначным ответом. Например:
воробей, пчела, улитка и самолет. Можно лишним считать самолет (неживой), а
можно улитку (не умеет летать).

В таких задачах я по очереди сам "назначал" лишних, а мальчики должны были
давать объяснения. Так я пытался их убедить, что правильное объяснение
важнее, чем правильный ответ, - прообраз общематематической идеи о
необходимости не только делать правильные утверждения, но и эту
правильность доказывать.

Схема "четвертый - лишний" и ее разновидности очень удобны для того, чтобы
учить детей угадывать закономерности (эта грань математического мышления
забывается школьной педагогикой). Иногда удобнее брать восемь картинок,
которые должны разделиться по выделенным признакам на две равные группы.
Именно такой схемой пользовался М.М.Бонгард в своей знаменитой книге
"Проблемы узнавания". И уж совсем трудные логические задачи получаются с
пересекающимися классами.

Например, пять картинок нужно разбить на две равные группы, по три картинки
в каждой; при этом одна из картинок общая - она принадлежит обеим группам.
Вот например: мяч, автомобильная шина, резиновые сапоги, пальто, шапка.
Здесь три предмета из резины (мяч, шина, сапоги) и три предмета одежды
(сапоги, пальто, шапка); общий элемент - сапоги.

Когда мы впервые встретились с Сашей Звонкиным, я рассказал ему о том, как
мы с моими литстудийцами играем в подобную игру на лексическом материале.
Группу из семи слов, заранее подобранных мной, студийцы пробуют разделить
на две группы по четыре слова в каждой: Клюшка, дорога, гараж, хоккеист,
ворота, матч, автомобиль; или Книга, тетрадь, осень, дерево, буква, лист,
ветка.

Ключик к решению (найти слово-омоним, разные значения которого вписываются
в разные ряды) быстро обнаруживают даже дошкольники. И весело выстраивают
семерки в две шеренги по четыре слова в каждой: Клюшка-хоккеист-матч-ворота
и дорога- гараж-автомобиль-ворота; Книга-тетрадь-буква-лист и
осень-дерево-ветка-лист.

Любят эту игру и подростки, и взрослые. А придумывать такие задачи с детьми
- редкое удовольствие.

Отдельный вопрос: как физически поделить пять картинок на две группы по три
- не рвать же одну карточку пополам.

Мы пользовались стандартным приемом: двумя веревочными кругами, в
пересечении которых помещали общий предмет.

Всегда ли мыслить нестандартно
означает мыслить творчески?

Дима все время представлял собой проблему. "Это хоть и дядя, но похож на
тетю", - говорил он про старика с огромной бородой и помещал его в общество
женщин. Про автомобильную шину он долго доказывал нам всем, что это тоже
одежда, так как ее можно носить на поясе. Когда же никто с ним не
согласился, он сказал: "Все равно это одежда, потому что ее надевают на
автомобиль".

Кто-нибудь скажет: вот, мальчик умеет мыслить творчески, нестандартно.
Насчет "нестандартно" согласен, но вот творчески... Человек по-настоящему
творческий умеет предложить неожиданное, нестандартное решение и при этом
остаться в рамках задачи. У Димы пока присутствует только первый компонент,
а вот остаться в рамках задачи или хотя бы вблизи от них он не умеет. Надо
как-то суметь, не подавив одно, развить другое. А как этого добиться, я не
знаю.

Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие

Наша следующая (и последняя на этот раз) задача - из области геометрии. Я
извлекаю цветную детскую мозаику, купленную в магазине "Лейпциг" (увы, в
одном экземпляре: в момент покупки я еще не помышлял о кружке).

Мозаика представляет собой прямоугольное поле с отверстиями. В них
вставляются одинаковые по форме фишечки пяти разных цветов (рисунок 7),
цвет фишек очень яркий, насыщенный, приятный для глаз. Наша задача - про
симметрию. Сначала я выкладываю ось - одноцветную вертикальную линию,
проходящую посередине поля. Я называю эту линию "зеркалом"; в это зеркало
сейчас будут смотреться разные фигурки. Я строю с одной стороны от оси
разнообразные небольшие фигурки, а мальчики должны построить симметричные
им фигурки с другой стороны. Я варьирую все, что можно - цвет, размер,
расположение фигур (на следующих занятиях будет меняться также и
расположение оси: сначала она станет горизонтальной, затем пойдет по
диагонали). С помощью настоящего зеркала мы проверяем наши решения:
оказывается ли за зеркалом то же самое, что мы видим в зеркале? Мальчики
справляются с задачей на удивление легко, почти не допускают ошибок. Не
могу понять, почему эта тема (осевая симметрия) вызывает трудности в шестом
классе! Мы впоследствии посвятили ей много занятий. Симметрия в самом деле
очень богатая тема.

Мы рассматривали картинки с симметричными узорами из книг по популярной
математике. Мы рисовали симметричные фигуры разноцветными фломастерами на
клетчатой бумаге; делали симметричные кляксы, складывая лист бумаги
пополам; вырезали новогодние снежинки; находили ошибки в симметричных
рисунках, в которых были специально сделаны кое-где нарушения, отклонения
от точной симметрии; среди восьми карточек находили четыре симметричные и
четыре несимметричные фигуры; у одной фигуры находили все возможные оси
симметрии. Другие виды перемещений - центральная симметрия, поворот,
параллельный перенос - оказываются для детей несколько более сложными, а
вот осевая симметрия буквально идет "на ура".

А мозаика стала вскоре моим любимейшим инструментом. Это не игра, а
настоящий клад всевозможных задач по геометрии, комбинаторике, логике,
угадыванию закономерностей. А однажды она мне преподала один незабываемый
урок на тему о том, что для детей важнее. Дело было так. Мальчики с
удовольствием ходили на занятия, а иногда даже в ответ на мои слова "урок
окончен" просили позаниматься еще. Я, конечно, гордился собой, пока вдруг
не заметил, что их просьбы продолжить занятие следуют только тогда, когда
мы занимаемся с мозаикой.

Я решил проверить свою догадку. Следующее занятие было без мозаики. Так оно
и есть: говорю "урок окончен" - дети спокойно встают и расходятся.

Меня охватили глубочайшие сомнения. Мозаика в самом деле очень красива, нет
ничего удивительного в том, что ребятам нравится с нею играть. А моя
математика, думал я, здесь ни при чем; я ее протаскиваю как обузу, как
никому не нужный довесок, как нагрузку к интересной игрушке! И вот в
следующий раз я устраиваю решающую проверку. Мы опять занимаемся с
мозаикой; опять мальчики не хотят заканчивать занятие. И тогда я говорю:
"Нет, давайте мы урок все-таки закончим, а с мозаикой я вам разрешаю
поиграть просто так". В ответ следует единодушный вопль возмущения, и Петя
резюмирует общую точку зрения в решительных словах: "Э, не-ет! Мы хотим
задачу!!" Вот так я понял, где лежит истина.

Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие. Если
одна из двух половин отсутствует, полноценность теряется, а с ней и
ощущение праздника.

Новогодняя елка без игрушек имеет в глазах детей так же мало
притягательности, как игрушки без елки. Только когда они соединяются
вместе, наступает праздник. Я надеюсь, что в будущем, через годы, когда мои
ребята будут заниматься более абстрактной, "умственной" математикой, они
будут получать от этого больше удовольствия, чем их сверстники. Ведь
возникающие у них в уме абстрактные образы и понятия будут где-то на дне
сознания эмоционально сливаться, окрашиваться воспоминаниями о разноцветных
радостях детства.

Вот и сейчас - мы уже прошли два круга, то есть каждый из ребят решил по
две задачи на симметрию, пора бы уже кончать, но мальчики не унимаются,
хотят еще. Мне кажется, что они уже устали. И я нахожу неожиданный выход:
"Давайте вы будете задавать мне задачи, а я буду их решать". Дети в
восторге! С новым пылом они строят фигурки, а я - им симметричные. Работаю
старательно.

Ошибки как педагогический инструмент

Вдруг в голову приходит новая идея: я начинаю нарочно делать ошибки

Идея использования преднамеренных ошибок прочно вошла в теорию и практику
развивающего образования (система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова). Там такие
ошибки получили название "ловушки".

Петя первый это замечает; счастью детей нет конца. К мальчикам как будто
пришло второе дыхание. Теперь они с горящими глазами, не отрываясь, следят
за моей рукой, встречая каждую новую ошибку воинственными дикарскими
кличами.

Но пора все же закругляться. Я отодвигаю мозаику, благодарю всех и объявляю
занятие оконченным. "А когда же фокусы будут?" - вдруг вспоминает Андрюша.
"Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам и показывал фокусы! Пуговиц было не видно,
они были спрятаны у меня в кулаке, а ты сумел их сосчитать". Сумел, правда,
не он, а Женя, но Андрюша, видимо, об этом забыл, потому что выглядит
вполне удовлетворенным.

Очень интересное наблюдение, которое непременно нужно учитывать, занимаясь
с дошкольниками и младшими школьниками: когда в группе малышей кто-нибудь
справляется с задачей, которую решали все вместе, каждый ребенок ощущает
себя решившим задачу!

Мы встаем. Я смотрю на часы: неужели прошло всего двадцать пять минут?
Сейчас дети разойдутся, а я останусь приводить в порядок свои мысли,
придумывать новые задачи, новые подходы, приемы. И еще - клеить, вырезать,
раскрашивать. Одним словом, готовить то, что в педагогике зовется скучным
сливом "дидактический материал". Ведь до следующего занятия - всего одна
неделя.

Теория вероятностей для выращивания вундеркиндов?

Когда я решался выступить с этими заметками перед широкой аудиторией, я
больше всего боялся, что кто-нибудь примет меня за очередного пророка,
предлагающего еще один способ выращивания вундеркиндов. Некоторый повод для
такого мнения дают темы наших математических занятий. Их "взрослые"
названия звучат порой удручающе научно: теория вероятностей,
программирование, топология, комбинаторика...

Я представлял себе читателя - восторженного и увлекающегося, воспитанного
на лекциях типа "Неизведанные возможности нашей психики", - который станет
говорить: "Вы представляете, у него малые дети изучают теорию вероятностей!
Взрослые люди, с высшим образованием ничего в этом понять не могут, а
малыши прекрасно разбираются!"

И другого - более здравомыслящего и скептического, который будет возражать:
"Не понимаю, зачем забивать им голову такой ерундой! Пусть у ребенка будет
нормальное детство".

Обидно было бы слышать такие диалоги, так как обе точки зрения основаны на
чистейшем недоразумении.

Нет, конечно, мы не "изучаем" никаких формул и теорем математической теории
вероятностей. Я не верю в существование детей, сколь угодно одаренных,
которые были бы способны к такому изучению. А что же делать вместо этого?

Дошкольники у подножья высшей математики

В качестве первого шага надо задать себе такой вопрос: откуда возникла
теория вероятностей? Где ее корни?

Ясно - как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория
вероятностей возникла из наблюдений над определенными явлениями реального
мира, а именно - над случайными, непредсказуемыми явлениями.

Следующий шаг - понять, что как раз вот такие наблюдения, предшествующие
науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не все, конечно, - лишь
самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются - например, тогда,
когда играют в игры с участием игральной кости (кубика с написанными на нем
очками от 1 до 6).

Нам остается только чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть
вероятностную природу их наблюдений. Как? Есть много способов. Можно,
например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они
увидели, как игра становится "несправедливой": одни цифры выпадают чаще,
чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму
очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем,
сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы
не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей
реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум
- очень хорошо. Если нет - значит, мы просто играли.

Замечательный девиз для взрослого, предлагающего дошкольникам
интеллектуальные игры: "Если дети что-нибудь усвоят, очень хорошо. Если
ничего не поймут, -