предстает для сознания ученика как все более солидная. Говоря психологическим языком, больше нет оснований ждать противоречия в цепи рассуждений как Лобачевского, так и Евклида. Со временем эта эквивалентность будет показана благодаря работам Клейна и Пуанкаре, но она обнаруживается уже в психологическом плане. Здесь есть небольшой нюанс, которым обычно пренебрегают философы, выносящие суждения на основании окончательных результатов. Если мы хотим проникнуть в суть новой диалектики научного духа, нам нужно жить ею именно в плане психологическом, как в психологической реальности, обучаясь в ходе первоначального формирования дополнительных мыслей.
    Резюмируя, можно, следовательно, сказать, что всякий психолог научного духа должен действительно пережить то странное раздвоение геометрической личности, которое происходило в математической культуре в течение последнего столетия. Тогда станет понятно, что более или менее скептический тезис относительна "математического конвенционализма" очень плохо выражает мощную диалектику, свойственную различным геометрическим идеям.
    Проблемы, касающиеся обобщения математических понятий, предстают в другом свете, когда принимается во внимание существенная диалектичность геометрического мышления. В письме, адресованном де Тилли (1870 г.), Уэль (Houлl) характеризует этот процесс обобщения остроумным аналитическим сравнением: "Последователи Евклида считали, что их геометрию отрицают, в то время как ее лишь обобщили; Лобачевский и Евклид могли бы прекрасно договориться. Обобщенная геометрия... это метод, аналогичный тому, которому следовал бы аналитик, который, получив общее решение дифференциального уравнения некоторой задачи, обсуждал бы это общее решение до того, как придать частные, конкретные значения константе в соответствии с данными задачами, что никоим образом не значит отрицать тот факт, что произвольная константа в конечном счете должна получать то или другое определенное значение. Что же касается отсталых евклидовцев, т. е. тех, кто ищет доказательств для Постулатов, то лучше всего сравнить их с теми, кто ищет в самих дифференциальных уравнениях определения постоянных интегрирования"9. Прекрасное сравнение, указывающее на обобщающую силу аксиоматики: некое дифференциальное уравнение получается путем отвлечения от частных значений констант; его общее решение включает все возможности; пангеометрия элиминирует допущения, которые могут делаться произвольно - точнее, нейтрализует их в силу одного того, что стремится дать систематический список всех допущений. Она есть продукт дополняющей мысли. Геометрию Евклида вновь обнаруживают на ее месте, в составе некоего класса, как частный случай.
    Множественность геометрий каким-то образом способствует деконкретизации каждой из них. Реализм идет от одного вида к совокупности. Показав инициирующую роль диалектики в геометрическом мышлении, нам нужно, следовательно, изучить способность синтезировать и связывать, свойственную точным и полным формам диалектики.
II
    Эту связность, как единственно возможную основу реализма, нельзя обнаружить, исследуя особую форму, сосредоточив, например, внимание только на евклидовой проблеме. Ее следует искать в том, что имеется общего в противоположных геометриях. Нужно исследовать установленное соответствие между этими геометриями. Математическая мысль обретает реальность, как раз делая геометрии связанными друг с другом. Математическая форма распознается таким же способом, посредством ее трансформаций. Обращаясь к математическому объекту, можно сказать: "Скажи мне, как тебя преобразовать, и я скажу тебе, что ты такое".
    Известно, что эквивалентность различных геометрических фигур была окончательно установлена, когда было найдено, что они связаны с одной общей алгебраической формой. И когда это было установлено, больше не нужно было опасаться противоречия, якобы присущего как системе Лобачевского, так и системе Евклида, поскольку геометрическое противоречие любого происхождения непременно проявилось бы в алгебраической форме и отсюда - во всех других геометриях, связанных друг с другом. Опорный камень здания очевидности - это алгебраическая форма. В итоге алгебра собирает воедино все отношения - и ничего, кроме отношений. И именно в качестве отношений разные геометрии являются эквивалентными. Именно будучи отношениями, они обладают известной реальностью, а не в силу связи с неким объектом, опытом, наглядным образом. Попытаемся раскрыть, с одной стороны, процесс деконкретизации исходных понятий, а с другой - процесс конкретизации отношений между этими обесцвеченными понятиями.
    В том, что касается первого процесса, обратимся к содержательным страницам книги Г. Жювэ, посвященным аксиоматике. Жювэ пишет, что физика исходит из понятий, достаточно далеких от непосредственного опыта, и показывает, как эти понятия постепенно очищаются, схематизируются, отнюдь не обогащаясь в плане наглядности в ходе теоретического размышления. Физика таким образом достигает своих наиболее развитых и полных теорий, редуцируя объем понятий как раз к масштабу атрибутов, которые делаются видимыми при расширении этих теорий. "Лишь еще больше освобождая эти понятия от их атрибутов, можно избегнуть тех антиномий, которые проистекают из слишком большого объема, который им вначале приписывали"10. В случае геометрии такое освобождение заходит так далеко, что предлагается запретить всякое обращение к опыту, в связи с чем Жювэ вспоминает исходную позицию аксиоматики Д. Гильберта: "Существуют три группы объектов, которые мы назовем: объекты первой группы A, В, С..., объекты второй группы а, b, с... и объекты третьей группы ?, ?, ?... Позже окажется, что прописные буквы представляют точки, строчные - прямые, а греческие - поверхности элементарной геометрии"11. Таким образом приняты все меры предосторожности для того, чтобы объем объектов был, если так можно выразиться, точно по их мерке и ни на йоту не отличался от того, какой был объем вещественного (субстанциального) источника. Другими словами, тут речь идет только о качестве отношений, а никоим образом не о субстанциальных качествах.
    Но если отношения не коренятся в объектах и если объекты "приобретают" свои свойства позже, лишь вместе с привнесенными отношениями, то можно задать следующий вопрос: откуда в таком случае берутся эти отношения? Здесь еще господствует случайность, поскольку независимость постулатов, призванных связывать объекты, должна быть абсолютной, и любой постулат должен быть заменимым на противоположный. Одно-единственное отношение не может, следовательно, стать основанием реалистской позиции, опираясь на которую защищают право (из предположения о наличии некоей субстанциальной реальности) делать вывод о предпочтительности какого-либо отношения перед противоположным. Лишь когда скопище отношений обнаруживает их связность, эта мысль о связности мало-помалу начинает дублироваться потребностью в полноте, которая определяет поиск добавочных дополняющих моментов. Так начинается синтезирующая деятельность, которая стремится завершить комплекс отношений: это значит, что геометрическое мышление создает впечатление некоей тотальности и что только теперь связность мысли предстает как дублирующая некую объективную спаянность. Мы достигаем здесь точки, в которой появляется реальное в математическом смысле. Но это реальное никоим образом не современник "первичных объектов" и не предшествует отношениям, взятым поодиночке. Лишь когда многочисленные отношения требуют дополнения, тогда и можно увидеть в действии эпистемологическую функцию, существенную во всякой реализации.
    В самом деле, что такое вера в реальность? Или что такое идея реальности, какова первичная метафизическая функция реального? Очевидно, прежде всего, это убеждение в том, что сущность превосходит свою непосредственную данность, или, если выражаться яснее, убеждение, что можно обнаружить гораздо больше в скрытой реальности, чем в очевидно данном. Понятно, что в области математики эта реализаторская функция действует особенно тонко; именно здесь ее труднее всего выявить, хотя, с другой стороны, и поучительно это сделать, чтобы понять. Пусть мы следуем в этой связи, например, гильбертовскому номинализму, превратившись на секунду в абсолютных формалистов. Тогда все прекрасные объекты геометрии и все прекрасные формы должны быть, конечно, забыты нами, и все вещи должны рассматриваться как буквы! Или пусть мы окажемся, далее, на позициях абсолютного конвенционализма с его ясными отношениями, выступающими в виде слогов, жестко соединенных в форму абракадабры! Ведь так представляют нередко процесс развития, символизации и очищения математики! Однако сам математик предпринимает поэтическое усилие - творческое, реализаторское, - и неожиданно, как в акте откровения, вдруг все эти соединившиеся слоги образуют живое слово, говорящее от имени Разума, которое находит в Реальности вещь, что и надлежало вызвать. Это внезапно появляющееся семантическое значение по своей сути целостно - оно появляется тогда, когда фраза закончена, а не тогда, когда она началась. Таким образом, в момент, когда понятие предстает как всеобщность, целостность, оно и играет роль некоей реальности. Читая некоторые страницы математических работ Дж. Пеано, Пуанкаре жаловался, что не понимает его языка. Видимо, потому, что он воспринимал его буквально, в конвенциональной разобщенности, как некий словарь, который реально использовать не хотят. Достаточно применить формулы Пеано, чтобы почувствовать, что они дублируют мысль, упорядочивая, буквально увлекают ее за собой, хотя трудно понять, откуда исходит эта сила психологического влечения, поскольку диалектика формы и содержания играет во всем процессе нашего мышления, безусловно, более важную роль, чем это обычно считают. Во всяком случае, эта сила влечения существует. Поэтому, если бы мы ничего еще не знали о математическом мышлении в плане обыденного опыта, нам было бы крайне сложно исследовать поэтическую трансцендентность языка Пеано. Как справедливо заметил Жювэ: "Строя некую аксиоматику, стремятся избежать того, что наука, подлежащая обоснованию, уже приняла в свой состав, - хотя именно по поводу известных вещей аксиоматику и создают"12. Однако не менее верно и другое, что новое математическое мышление связано с характерным раздвоением. Отныне аксиоматика сопровождает развитие науки. И хотя это сопровождение пишут после создания мелодии, современный математик играет двумя руками. И здесь перед нами игра существенно нового типа; она нужна в разных плоскостях познания; подсознательное возбуждается, но по ходу дела. Слишком просто без конца повторять, что математик не знает, о чем он говорит, в действительности он притворяется, что он об этом ничего не знает, он должен говорить, как будто он этого не знает, сдерживая свое воображение и подгоняя опыт. Евклидов подход остается наивным мышлением, которое всегда будет использовано в качестве основы для генерализации. "Весьма примечательно, - пишет А. Буль, - что достаточно слегка углубить некоторые аспекты евклидовой геометрии, чтобы увидеть возникновение другой геометрии и даже возникновение намного более общих геометрий"13. Будучи рассмотрено в этой перспективе обобщений, геометрическое мышление предстает как тенденция к полноте. Именно в полноте находит оно связность и знак законченной объективации.
    Аксиоматический эпюр, составляющий подоснову геометрической мысли, опирается в свою очередь на более глубокое основание, являющееся исходной базой психологии математического мышления. Эта база - идея группы. Всякая геометрия - и, вне сомнения, вообще всякая математическая организация опыта - характеризуется особой группой преобразований. Новый довод в пользу тезиса, что математический объект определен посредством критериев, имеющих отношение к преобразованиям. Когда мы рассматриваем, например, евклидову геометрию, то перед нами особенно ясная и простая группа; может быть, настолько простая, что мы даже не замечаем сразу ее теоретической и экспериментальной значимости. Эта группа, как известно, группа перестановок. С ее помощью определяется равенство двух фигур, лежащее в основе метрической геометрии: две фигуры считаются равными, если после наложения они совпадут. Очевидно, что две следующие друг за другом операции перестановки могут быть заменены одной, представляющей производную от двух первых; любая серия любых перестановок может быть также при этом заменена одной-единственной. Такова причина того, что перестановки образуют группу.
    Однако является ли эта истина опытной или рациональной? Не поразительно ли, что можно ставить перед собой такой вопрос и таким образом помещать идею группы в центр диалектического взаимодействия разума и опыта? В самом деле, есть довод в пользу того, что идея группы или, точнее, идея совокупности объединенных в группу операций отныне представляется общей основой физического опыта и рационального исследования. Математическая физика, встроив в свое основание понятие группы, отмечена превалированием рационального начала. Следует понять это, размышляя о структуре той первой математической физики, каковой является евклидова геометрия. Как верно сказал Жювэ: "Опыт показывает... что эти перестановки не изменяют геометрических фигур, но аксиоматика доказывает это фундаментальное положение"14. Доказательство важнее констатации.
    Пока группа не связана с определенной аксиоматикой, нет уверенности, что последняя действительно представляет собой полный список постулатов. "Если некая группа представлена геометрией, ее аксиоматика непротиворечива в той мере, в какой не оспариваются теоремы Анализа. С другой стороны, аксиоматика некоторой геометрии будет полной лишь тогда, когда она действительно выступает как точное представление некоторой группы; коль скоро не найдена группа, которая является ее рациональной основой, эта аксиоматика неполна или, быть может, даже противоречива"15. Иначе говоря, группа представляет замкнутой математической системе доводы в пользу самой этой системы. Ее открытие приносит конец эре конвенций, более или менее независимых друг от друга, более или менее связанных друг с другом.
    Физические инварианты, опирающиеся на структуру групп, придают, на наш взгляд, рациональное, а отнюдь не реалистское значение принципу преемственности, обнаруженному Э. Мейерсоном в основе физических явлений. Во всяком случае, именно здесь математизация реального в самом деле оказывается оправданной и образует процесс органической преемственности, на что указывал еще Жювэ: "В бурном потоке явлений, в постоянно меняющейся реальности физик усматривает преемственные связи; чтобы описать их, его ум конструирует геометрические структуры, разные формы кинематики, механические модели, аксиоматизация которых имеет целью уточнить... то, что за неимением подходящего термина мы назовем полезным пониманием различных понятий, формирование которых было связано с опытом и наблюдением. Если построенная таким образом аксиоматика есть представление группы, инварианты которой годятся для перевода, в реальность преемственностей, которые опыту предстоит открыть, то физическая теория свободна от противоречий и представляет собой образ реальности"16. Жювэ сближает соображения относительно групп с исследованиями Кюри относительно симметрий. Он заключает: здесь сразу перед нами и метод и экспликация.
III
    Итак, абстрактные схемы - производные от аксиоматик и соответствующих групп - определяют структуру различных областей математической физики, и нужно вновь подняться до уровня групп, чтобы увидеть четко те отношения, в которых находятся друг к другу эти области математической физики. В частности, отдавать преимущество евклидовой геометрии здесь не более оправданно, чем отдавать преимущество группе перестановок. Ведь эта группа относительно бедна; не случайно она уступила свое место более богатым группам, более пригодным для того, чтобы дать рациональное описание тонкого опыта. Поэтому понятно, почему все отвергают мнение Пуанкаре, который считал евклидову геометрию наиболее удобной. Оказалось, что это не совсем так. Поразмыслив, можно не ограничиваться только советом быть поскромнее, предсказывая судьбы человеческого разума17. Очищая разум, можно прийти к настоящему перевороту ценностей в области рационального и увидеть, что абстрактное мышление в современной физике имеет определяющее значение. Напомним кратко позицию Пуанкаре и отметим новую черту эпистемологии по сравнению с этой частной точкой зрения.
    Когда Пуанкаре доказывал логическую эквивалентность разных геометрий, он утверждал, что геометрия Евклида всегда будет считаться самой удобной и в случае ее конфликта с физическим опытом исследователи всегда будут предпочитать изменение физической теории перестройке принципов элементарной геометрии. Так, Гаусс намеревался экспериментально проверить с помощью астрономических наблюдений одну из теорем неевклидовой геометрии, поставив перед собой следующий вопрос: действительно ли сумма углов треугольника, фиксируемого на звездах, т. е. имеющего гигантские размеры, обладает свойством уменьшаться, как это следует из геометрии Лобачевского. Пуанкаре не считал подобное измерение решающим экспериментом. Если он будет проведен, говорил он, то тогда можно будет сказать, что световой луч как физическая сущность подвергается искривлению, что он не распространяется в данном случае по прямой. Евклидова геометрия будет спасена в любом случае.
    В главе, которую мы посвятим некартезианской эпистемологии, мы постараемся полнее охарактеризовать это мышление, прибегающее к аргументам об отклонениях, одну из попыток которого утвердить априорную ясность мы только что видели. В целом, такой способ мышления сводится к тому, чтобы представить в качестве неизменной перспективу интеллектуальной ясности, обрисовать дело так, что будто бы существует некоторая плоскость наиболее ясных мыслей, которая всегда выступает как первичная, что эта плоскость должна оставаться отправной базой для любых последующих исследований, что они могут появляться, только отправляясь от этой основы начальной ясности. Какой же метод должен быть присущ физической науке, если исходить из подобной эпистемологии? Нужно стремиться обрисовать опыт в его крупных чертах; подчинить феноменологию элементарной геометрии; обучать разум обращению с устойчивыми формами, не обращая внимания на уроки изменений. Лишь таким образом вся евклидовская инфраструктура, которая складывается в разуме, прочно увязывается с опытом обращения с твердыми телами, природными и искусственными. Лишь отталкиваясь от этой геометрической бессознательной основы, определяют затем отклонения, обнаруживаемые в физическом эксперименте.
    Как об этом очень хорошо говорит Гонсет: "Ошибки и отклонения определены в намерении - в общем, несознаваемом - сделать всю систему измерений интерпретируемой с минимальными искажениями посредством геометрии Евклида"18.
    Но является ли эта геометрическая структура, которая считается вечной характеристикой человеческого мышления, действительно определяющей? Отныне это можно отрицать, поскольку современная физика на деле конституирует себя, основываясь на неевклидовых схемах. Для этого требуется, чтобы физик подошел к новой области со всей независимостью разума, после того как евклидовы устремления подверглись психоаналитическому выявлению. Это новое учебное поле - микрофизика. Мы покажем в дальнейшем, что соответствующая ему эпистемология не является вещистской. Здесь же просто подчеркнем, что элементарный объект микрофизики не есть твердое тело. Электрические частицы, из которых образована вся материя, больше нельзя рассматривать в качестве настоящих твердых тел. И это не просто утверждение в духе реализма, которое имело бы не больше ценности, чем вещистское утверждение реалистски ориентированного атомизма. Из своей установки современный физик черпает глубокие доводы, весьма характерные для нового мышления, в пользу того, что электрическая частица, в сущности, не имеет формы твердого тела, поскольку при движении она деформируется. О ней судят - насколько это