щий возможности
расширения дискурса или языковых конструкций. Понятия синтаксиса позволяют
описать процедуру конструирования при наличии заданных правил. Проблема
состоит в том, чтобы построить правильную языковую конструкцию, т.е.
подвести единичный объект под данный общий закон. Синтаксис содержит
определенные, на данный момент установленные, структуры, которые в виде
общих правил предписываются рассудком способности воображения.
Следовательно, говоря о синтактическом измерении языка, мы говорим о
действии определяющей способности суждения.

Но каждая конструкция, будучи языковой, должна быть также рассмотрена как
языковой знак.(См. примечание 3) Последнее означает, что конструкции может
быть придан некоторый смысл. Если мы имеем в виду математический дискурс,
то последнее легко показать на любом тексте математической задачи. Этот
текст вполне можно проинтерпретировать в терминах, определяемых
треугольником Фреге, поскольку он всегда указывает на некоторый единичный
объект, называемый решением. Последнее есть референт данного знака. В
частности алгебраическое уравнение указывает, как на референт, на свои
корни, неравенство - на множество чисел, ему удовлетворяющих, и т.д.
Заметим, что формулировка недоказанной еще теоремы также есть знак, который
указывает, как на референт, на конструкцию, создаваемую в ходе построения
(kataskeuh). При этом важно иметь в виду, что как знак следует
рассматривать не только утверждение теоремы, но (по преимуществу)
экспозицию и детерминацию. Но если действительная конструкция, создаваемая
при решении задачи (при доказательстве теоремы), составляет референт этого
знака, то структуру, актуализируемую в процессе ее построении, совершенно
естественно назвать смыслом. Именно структура должна занимать место в
третьей вершине треугольника Фреге.

Поскольку речь здесь идет о решении задачи, т.е. о построении новой
структуры (а не о подведении объекта под уже имеющуюся и предписываемую
рассудком в виде общего правила), то вся сфера смысла должна быть связана с
действием рефлектирующей способности суждения. Под смыслом следует понимать
еще не данное, но лишь искомое правило. Если же задача решена и правило
установлено, то всякое последующее обращение к ней будет производится уже
определяющей способностью суждения. Решение задачи означает, следовательно,
переход рассмотрения языкового знака из семантического измерения в
синтактическое, поскольку именно синтаксис является сферой использования
предписанных правил. Именно таким правилом является, например, ранее
доказанная теорема.

Указанное различие синтактического и семантического измерений позволяет
различить понятия структуры и трансцендентальной схемы, вводимой в "Критике
чистого разума". Схему, на наш взгляд, уместно рассматривать как коррелят
готового правила. Схема всегда задана вместе с понятием рассудка и
использование схем есть задача определяющей способности суждения. Структура
еще не задана, а должна быть угадана рефлектирующей способностью суждения,
однако будучи раз угадана, она становится схемой.

Рассмотрев, таким образом, онтологические категории, мы видим, что
математическая онтология имеет естественную лингвистическую (или, по
крайней мере, семиотическую) интерпретацию. Ранее мы говорили, что решение
задачи, рассматриваемое как построение объемлющего дискурса, есть способ
установить существование некоторого объекта. Теперь мы видим, что решение
вопроса о существовании связано с переменой семиотического статуса
языкового знака, переход их сферы семантики в сферу синтаксиса. Объект,
существование которого установлено, сам может быть предъявлен в виде знака.
Если до построения речь шла об отношении знака к смыслу (к невыявленной еще
структуре), то после него это же самое отношение уже может быть рассмотрено
как отношение знаков.

Примечания к заключению

1. Можно сказать, что конструирование есть необходимое условие понимания.
Что же касается формулирования общих правил, то оно возможно и при полном
непонимании - Кант довольно едко писал о том знании, которое осуществляется
только как общее. Способность усматривать правила "лишь в абстрактной
форме" он связывает с недостатком способности суждения, а "недостаток
способности есть собственно то, что называют глупостью; против такого
недостатка нет лекарства." Далее он пишет: "Тупой или ограниченный ум,
которому недостает достаточной силы рассудка, может, однако, с помощью
обучения достигнуть даже учености. Но так как вместе с этим подобным людям
недостает способности суждения, то не редкость встретить ученых мужей,
которые, применяя свою науку, на каждом шагу обнаруживают этот непоправимый
недостаток" (B173 - сноска).
вернуться в текст


2. Выражение Чарльза Морриса. В работе "Основания теории знаков" он
рассматривает три "измерения семиозиса", различая в каждой знаковой системе
отношения знаков между собой (синтактика), отношение знаков к объектам
(семантика) и отношение знаков к интерпретаторам (прагматика) ([36], c.42).
Это "третье измерение", впрочем, едва ли может иметь отношение к нашему
исследованию . вернуться в текст


3. Выше мы использовали слово "знак" для обозначения некоторого минимально
различимого объекта, конструируемого, например, в алгебре или арифметике.
Там он мог рассматриваться также и как имя. Говоря при этом о знаковом
конструировании мы лишь указывали на особый способ
пространственно-временной деятельности, несколько отличной от
конструирования геометрических фигур. Однако знак, понятый как элемент
такого конструирования, может являться также и языковым знаком, поскольку
участвует в создании дискурса. Языковой знак, следовательно, составляет
более широкое понятие, чем просто знак. Языковым знаком является всякое
выражение языка (языковая конструкция), имеющее смысл. вернуться в текст



Библиография

1. Аврелий Августин. Исповедь. Москва, Renaissance, 1991
2. Аристотель. Метафизика. Москва-Ленинград, 1934, перевод А.В.Кубицкого
3. Аркадьев. М.А. Временные структуры новоевропейской музыки. М. 1992
4. Барабашев А.Г. Треугольник Фреге и существование математических объектов
//Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 2(37), Москва,
Янус-К, 1997
5. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы
математики. Москва, "Издательство Московского Университета", 1981
6. Беркли Дж. Трактат о принципах человеческого знания //Беркли. Сочинения.
Москва, "Мысль", 1978, с. 149-247
7. Беркли Дж. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему
математику //Беркли. Сочинения. Москва, "Мысль", 1978,
с. 395-442
8. Беркли Дж. Алкифрон, или мелкий философ. СПб., "Алетейя", 1996
9. Боэций. Комментарий к Порфирию //Боэций. Утешение Философией и другие
трактаты. Москва, "Наука", 1990, с.5-144
10. Бурбаки Н. Архитектура математики //Бурбаки Н. Очерки поистории
математики. Москва, "Издательство иностранной литературы", 1963, с. 245-259
11. Вейль Г. Математическое мышление. Москва, "Наука", 1989.
12. Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки
зрения// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с.299-305
13. Гейтинг А. Интуиционизм. Москва, "Мир", 1965.
14. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел// Математическая
теория логического вывода. Москва, 1967, с. 77-153
15. Гильберт Д. О понятии числа //Основания геометрии. Москва, 1948,
с.320-322
16. Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики //Основания геометрии.
Москва, 1948, с.322-337
17. Гильберт Д. О бесконечном //Основания геометрии. Москва, 1948,
с.338-352
18. Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и
формализация арифметики. Москва, "Наука", 1979
19. Гутнер Г.Б. Интерпретация существования в математике //Философские
исследования, N 1, 1995, с.212-225
20. Гутнер Г.Б. Онтология математического рассуждения //XI Международная
конференция по логике, методологии и философии науки. Обнинск, 1995.
21. Гутнер Г.Б. Дискретность и непрерывность в структуре математического
дискурса //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты.
М. "Янус-К", 1997, с. 242-265
22. Декарт Р. Правила для руководства ума. //Декарт. Сочинения в 2 томах,
т.1, Москва, "Мысль", 1989, с.77-153
23. Декарт Р. Первоначала философии. //Декарт. Сочинения в 2 томах, т.1,
Москва, "Мысль", 1989, с.297-422
24. Декарт Р. Геометрия. Москва-Ленинград, ГОНТИ, 1938
25. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Москва, "Наука", 1978
26. Каган В.Ф. Основания геометрии, ч.II, Москва, 1956 г.,
27. Кант И. Критика чистого разума. Санкт-Петербург, "Тайм-Аут", 1993
28. Кант И. Критика способности суждения. Москва, "Искусство", 1994
29. Кант И. Пролегомены. Москва, ОГИЗ, 1934.
30. Кант И. Трактаты и письма. Москва, "Наука", 1980
31. Кантор Г. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985
32. Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие
о функции. Изд. "Шиповник", Спб. 1912
33. Кричевец А.Н. Априори, способность суждения и эстетика //Вестник
Московского Университета, Серия 7, Философия. 1996. N3, с.41-50
34. Кушнер Б.А. Принцип бар-индукции и теория континуума у Брауэра
//Закономерности развития современной математики. Москва, "Наука", 1987,
с.230-250.
35. Майоров Г.Г. Судьба и дело Боэция // Боэций. Утешение Философией и
другие трактаты. Москва, "Наука", 1990, с.315-413
36. Моррис Ч.У. Основания теории знаков. // Семиотика. Москва, "Радуга",
1983, c. 37-89
37. Мулуд Н. Современный структурализм. Размышления о методе и философии
точных наук. Москва, "Прогресс", 1973
38. Панов М.И. Интуиция, логика, творчество. Москва, "Наука", 1987.
39. Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики.
Москва, "Наука", 1984
40. Платон. Парменид. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 2.
Москва, "Мысль", 1993, с. 346-412
41. Платон. Филеб. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3. Москва,
"Мысль", 1994, с. 7-78
42. Платон. Государство.// Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3.
Москва, "Мысль", 1994, с. 79-420
43. Платон. Тимей. // Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, т. 3. Москва,
"Мысль", 1994, с. 421-500
44. Пойа Д. Математика и правдоподобное рассуждение. Москва, Издательство
Иностранной Литературы, 1957
45. Пойа Д. Математическое открытие. Москва, "Наука", 1970
46. Поппер К. Логика и рост научного знания. Москва, 1983
47. Поппер К. Нищета историцизма. Москва, "Прогресс" 1993
48. Пуанкаре А. О науке. Москва, "Наука", 1983
49. Родин А.В. Теорема //В печати
50. Рузавин Г.И. Гильбертовская программа и формалистическая философия
математики.//Методологический анализ оснований математики. Москва, "Наука",
1988, с.108-168
51. Смирнова Е.Д. Логика и философия. Москва, "Росспэн", 1996
52. Спиноза Б. Этика. Москва-Ленинград, 1934, перевод А.К.Топоркова
53. Степанов Ю.С. Основы общего языкознания. Москва, "Просвещение", 1975
54. Степанов Ю.С. Альтернативный мир, Дискурс, Факт и принцип Причинности
// Язык и наука конца 20 века. Москва 1995, с.35-73
55. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Москва, "Мир",
1966.
56. Черняк В.С. Интуиция и математическая структура //Вестник Московского
Университета, Серия 7, Философия. 1969. N3, с.44-52
57. Черняк В.С. Формализм Гильберта и кантова концепция
математики//Методологические проблемы современной науки. Москва, 1970. с.
174-209
58. Черняк В.С. История. Логика. Наука. Москва, "Наука", 1986
59. Черняк В.С. Структуралистские концепции истории науки //Принципы
историографии естествознания, Москва, "Наука" 1993, с.296-314
60. Шапошников В.А. Математические понятия и образы в философском мышлении
(на примере философии П.А.Флоренского и философских идей представителей
Московской математической школы). Диссертация на
соискание ученой степени кандидата философских наук. Москва, МГУ, 1996.
61. Шеллинг Ф.В.Й. Система трансцендентального идеализма // Шеллинг Ф.В.Й.
Сочинения в двух томах, т.1, с.227-489
62. Шляхин Г.Г. Соотношение понятия и индивида в математическом знании//
Методологический анализ математических теорий. Москва, 1987, с. 184-192
63. Bernays P. On Platonism in Mathematics// Beneceraff and Putman (eds.)
Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p.
258-271
64. Brittan G. Algebra and intuition // Kant's Philosophy of Mathematics.
Kluwer Academic Publishers, Netherland, 1992, p.315-339.
65. Brouwer L.E.J. On the foundations of Mathematics //Collected Works.
V.1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam - Oxford - New
York, 1975, p.11-101
66. Brouwer L.E.J. Guidelines of Intuitionistic Mathematics// Ibid., p.
477-507
67. Brouwer L.E.J. Historical Background, Principles and Methods of
Intuitionism // Ibid., p.508-515
68. Cassirer E. The concept of Group and the Theory of Perception //
Philosophy and phenomenological research. Vol. V, No.1, September, 1944.
69. Godel K. Russel's Mathematical Logic. // Beneceraff and Putman (eds.)
Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983
p.447-469
70. Godel K. What is Cantor's Continuum Problem // Beneceraff and Putman
(eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge,
1983 p.470-485
71. Goutner G. Transcendental synthesys as the foundation of mathematical
discourse //VII Кантовские чтения. Калининград, 1995.
72. Friedman M. Kant and the Exact Sciences. Harward University Press, 1994
73. Hale B. Structuralism's Unpaid Epistemological Debts //Philosophia
Mathematica (III). Vol. 4, N 2 p. 124-147
74. Hintikka J. Kant on the Mathematical Method // Monist 51(1967)
75. Jesseph D.M. Berkley's philosophy of mathematics. Chicago, University
of Chicago press, 1993
76. Leppakoski M. The transcendental How. Almqvist & Wiksel International,
Stockholm, 1993
77. Maddy P. Realism in Mathematics. Clarendon Press, Oxford, 1990
78. Proclus de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des elementes
d'Euclide. Desclee de Brouwer et Cie, Bruges, 1948
79. Parsons C. Kant's Philosophy of Arithmetic // Philosophy, Science and
Method: Essays in Honor of Ernst Nagel, New York, 1983
80. Parsons C. Mathematics in Philosophy. N.Y. 1983
81. Resnik M.D. Structural Relativity // Philosophia Mathematica (III).
Vol. 4, N 2 p. 81-99
82. Shapiro S. Space, Number and Structure: a Tale of Two Debates //
Philosophia Mathematica (III). Vol. 4, N 2 p. 148-173
83. Young J.M. Construction, Schematism, and Imagination //Kant's
Philosophy of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, Netherland, 1992, p.
159-175



РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ФИНАНСОВОЙ ПОДДЕРЖКЕ РОССИЙСКОГО ГУМАНИТАРНОГО
НАУЧНОГО ФОНДА (грант N 96-03-04125)