е
может быть поставлен вопрос - в рамках какой еще более общей структуры она
существует. Разум не может представить, как налично реализованную,
совокупность структур, последовательно включенных друг в друга в виде
бесконечной конструкции. Поэтому вопрос о существовании требует для своего
полного разрешения введения регулятивных понятий. В математике поэтому
неизбежны представления о бесконечных совокупностях, в рамках которых
существуют частные математические объекты. Для естествознания таким
регулятивом выступает понятие о мире, в котором может быть реализовано
сколь угодно много теоретических структур.

Необходимо, впрочем, иметь в виду, что в "Критике способности суждения" нет
речи о существовании, тем более о существовании математических объектов.
Кантовское решение проблемы существования связано с рассмотрением категорий
модальности, чем мы подробно займемся в Главе 3. Но сразу можно сказать,
что это рассмотрение не будет полным без учета принципа целесообразности. С
другой стороны, мы вплотную подошли к тому пониманию существования, которое
связали в Введении с именем Кассирера. В рамках нашей интерпретации
кантовского определения рефлектирующей способности суждения всякий объект
считается существующим тогда, когда определено его место в некоторой
структуре, разворачиваемой согласно установленному правилу (логической
форме). Более того, теперь можно яснее сказать о какой структуре должна
идти речь - это структура теории, создаваемой на основе индуктивной догадки
и объясняющей ранее установленные факты. (См. примечание 8) Впрочем,
предъявление структуры не является еще достаточным условием для утверждения
о существовании элементов. Необходимо указать особые свойства такой
структуры - ниже мы попытаемся разобрать, как решал эту проблему Гильберт.




Примечания к Главе 1

1. Интересный и весьма скрупулезный анализ роли математических образов в
философском мышлении дан В.А.Шапошниковым в [60]. вернуться в текст

2. Латинский перевод аристотелевского термина ousia. вернуться в текст

3. Подробное рассмотрение философии математики Беркли предпринято в книге
Джессефа [73]. Там, в частности, разбирается теория "репрезентантов"
(термин Джессефа), развиваемая Беркли как альтернатива теории абстракции.
Речь идет о намерении Беркли доказать, что в математике нет никаких общих
понятий, абстрагированных от единичных предметов, а есть лишь те же самые
единичные предметы (т.е. идеи), которые выступают в рассуждении как
представители целых классов подобных им идей. вернуться в текст

4. Пустяковые трудности. вернуться в текст

5. Следуя терминологии Беркли, лучше было бы сказать
"интерсубстанциональной". вернуться в текст

6. Объектом называется то, что представлено мышлению как нечто мыслимое,
точнее представлено мыслящим субъектом самому себе. "Объект есть то, в
понятии чего объединено многообразие данного наглядного представления"
(B137; курсив Канта). Следовательно объект всегда представляет собой
результат конструирования.Именно этого значения названного термина мы и
будем придерживаться в дальнейшем. В "Критике чистого разума" наряду со
словом "объект" (Objekt) используется и слово "предмет" (Gegenstand), для
которого не дается более или менее ясного определения. По всей видимости
"предметом" можно назвать и то, что не представляется как результат
конструирования. Существует мнение ( [74], с. 268), что Кант не проводит
никакого ясного различения между двумя названными терминами и пользуется
ими как взаимозаменяемыми. Леппакоски замечает по этому поводу, что в
английском переводе "Критики чистого разума" оба слова совершенно
правомерно передаются одним и тем же термином "object". Тем не менее нам
представляется, что если "объектом" можно назвать только нечто реально
возможное, т.е. производимое продуктивной способность воображения, то
термин предмет допускает более широкое использование. Например, "множество
всех действительных чисел", которое невозможно сконструировать, допустимо
называть предметом, но не объектом. вернуться в текст

7. Связь категорий объект и факт нуждается в дополнительном рассмотрении.
Мы проведем его в Главе 3 при сопоставлении категорий действительности и
необходимости. вернуться в текст

8. Причем факты могут служить для фальсификации теории. Последнее означает,
что построенный при заданных посылках объект не может быть "вписан" в
теоретическую структуру. На связь попперовской идеи фальсификации с
"Критикой способности суждения" указано также в [33]. Впрочем, эта связь
должна быть предметом особого исследования. Равно как и связь представлений
Поппера о строении научной теории с развертыванием категории
"действительности" у Кассирера ([32],c. 349-400). Оба эти мыслителя строят
очень похожие конструкции, связывающие частные факты с общей гипотезой.
вернуться в текст



ГЛАВА 2
Интерпретации существования в математике

ї 1 Основные стратегии доказательства существования



Важной задачей, которую мы должны решить, проводя исследование онтологии
математического дискурса, состоит в выяснении тех традиционных способов,
которыми математика устанавливает существование своих предметов. Для этого
следует обратить внимание на математические предложения, утверждающие о
чем-либо, что оно "существует". Рассмотрение доказательств таких
предложений позволяет понять, в каком смысле употреблено в нем это слово.
Способ доказательства существования проясняет, прежде всего, интерпретацию
существования в том или ином утверждении.

Если попытаться разобрать основные математические тексты (т.е. тексты,
производимые математиками разного класса и уровня и читаемые в сообществе,
имеющем к математике какое-либо отношение), то при самом поверхностном
анализе можно увидеть три способа доказательства существования и,
соответственно, три способа определить онтологический статус предмета
исследования.

Первый (и, возможно, наиболее распространенный) способ доказательства
состоит в непосредственном построении объекта, в существовании которого
предстоит убедиться. В качестве классических областей применения такого
рода доказательств принято указывать евклидову геометрию, алгебру и,
отчасти, теорию чисел [18]. Однако, важно понимать, что его употребление
вполне естественно и для вполне "нефинитных" областей, например, для
функционального анализа. Чтобы обратить внимание на некоторые важные
особенности такого способа доказательства, уместно обратиться к примеру.
Одна из известных теорем функционального анализа утверждает, что для любого
сжимающего отображения произвольного полного метрического пространства в
себя существует единственная неподвижная точка этого отображения. Это
утверждение доказывается так: в метрическом пространстве выбирается
произвольная точка, данное сжимающее отображение применяется сначала к этой
точке, потом к получившемуся в результате его применения образу этой точки,
потом к образу образа и т.д. Выясняется, что возникающая при этом
последовательность имеет предел и этот предел - точка пространства, не
изменяющаяся при применении к ней данного отображения.

Как в формулировке этой теоремы, так и в ее доказательстве фигурируют лишь
общие термины. Доказательство, однако, проведено так, что все общие термины
в нем можно заменить на единичные. Так, задав некоторое полное метрическое
пространство (допустим, фиксированный отрезок прямой линии), т.е. указав
вполне определенный единичный предмет, обладающий всеми требуемыми
свойствами, и задав какое-то конкретное сжимающее отображение на нем, мы
можем, пользуясь прописанной в доказательстве схемой, указать на некоторый,
также вполне определенный, единичный предмет, обладающий всеми требуемыми
свойствами (т.е. являющийся неподвижной точкой отображения). Указание
единичного предмета - важнейший момент такого рода рассуждений. Хотя само
оно и проводилось как бы абстрактно, т.е. безотносительно каких-либо
единичностей, однако возможность работы с ними и составляет его реальный
смысл. Любой, включенный в рассуждение индивидуальный предмет получает в
ходе его полную определенность (ясность онтологического статуса) в силу его
отличимости от любого другого предмета, указанного каким-либо иным
способом. Итак, о каком-либо предмете можно сказать, что он существует,
если приведена конечная схема, которая, будучи применена к указанному
вполне определенному объекту (или конечному набору объектов), приводит к
построению рассматриваемого предмета. Тот факт, что схема, на которую мы
ссылались в нашем примере, содержала построение бесконечной
последовательности, еще не нарушает конструктивности определения
существования. Предел последовательности есть вполне определенный объект,
построение которого, при заданной сходящейся последовательности, вовсе не
требует таких запредельных абстракций, как актуальное предъявление всей
бесконечной последовательности. Выяснить, например, что последовательность
xn = 1/2n сходится к 0, можно с помощью легко
завершаемой процедуры. Последнее верно, конечно, не для любой
последовательности. Но в разобранном нами примере такую последовательность
указать можно. (Например, если задать отображение, которое каждой точке
отрезка будет ставить в соответствие точку, расположенную в два раза ближе
к фиксированному концу отрезка.) Но именно эта возможность и важна для
определения существования в конструктивном смысле. Слово "существует" в
рамках рассмотренной нами интерпретации должно быть прочитано именно
как "существует единичный предмет, на который можно непосредственно
указать".

Конечно же математическое рассуждение не ограничивается такими, завязанными
на вполне определенный единичный предмет, построениями. Математический
анализ постоянно имеет дело с такими предметами, которые не могут быть
вполне определены с помощью конечной процедуры построения. Самый
характерный пример - иррациональное число, которое определяется либо как
последовательность рациональных чисел, либо как сечение на множестве
рациональных чисел. В любом случае такое определение предмета предполагает
предъявление какой-то бесконечной совокупности и о его существовании уже
невозможно говорить в рассмотренном выше смысле. Тем более это невозможно,
если речь идет о последовательностях или о бесконечных множествах
вещественных чисел. Названные предметы, тем не менее, весьма активно
изучаются в анализе. В математике принято два способа говорить о
существовании этих неконструируемых предметов.

Первый неконструктивный способ интерпретации существования связан с законом
исключенного третьего. На нем основаны все доказательства от противного.
Приведем еще один пример. Одна из центральных теорем анализа утверждает,
что если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Доказательство этого факта часто проводят, предположив, что данная
последовательность нефундаментальна (т.е. не удовлетворяет критерию Коши).
Из этого предположения легко выводится, что последовательность в таком
случае и не ограничена, что противоречит условиям теоремы. Далее же на
основании закона исключенного третьего утверждается фундаментальность
рассматриваемой последовательности, а соответственно и наличие предела.
Никаких указаний на какое-либо конкретное число, могущее быть пределом
последовательности, равно как и на способ его вычисления, нет ни в
формулировке, ни в доказательстве теоремы. Мы, конечно, можем усмотреть
здесь какую-то схему, которая может быть применена к заданной
последовательности, т.е. к определенному единичному предмету. Но к
построению другого единичного предмета (в существовании которого и
требуется удостовериться) предложенная схема не приведет. Это предмет
останется предметом гипотетическим. Нет никаких реальных критериев для
того, чтобы отличить его от какого-либо другого. Брауэр, о взглядах
которого на проблему существования мы будем более подробно говорить в
дальнейшем, считал, что философским основанием для такого типа рассуждений
является реализм (или "платонизм"), неправомерно перенесенный на
математические объекты [65]. Утверждая, что бесконечная последовательность
(которую мы не построили и не можем построить) должна быть либо
фундаментальной, либо нефундаментальной, мы верим в некоторое
действительное положение дел, существующее независимо от нас в каком-то
идеальном мире. Наше суждение об этом положении дел может быть истинным или
ложным, сама же реальность, никак не связана с нашими собственными
действиями. Брауэр считал неправомерным использование закона исключенного
третьего потому, что по его убеждению математические объекты и их отношения
не есть независимая от субъекта реальность, о которой можно лишь истинно
или ложно судить, а есть продукт собственной деятельности субъекта. Можно
не принимать такую точку зрения, но трудно, по-видимому, отрицать, что
онтологический статус предмета, определенный подобным образом, остается
довольно сомнительным. Мы начинаем оперировать с предметом, присутствие
которого непосредственно не удостоверено. Можно сказать, что такой предмет
не существует в подлинном смысле, а как будто существует. Не имея
возможности предъявить его в нашем рассуждении, мы рассуждаем так, как если
бы он существовал (как если бы был построен). Установив существование с
помощью закона исключенного третьего, часто имитируют непосредственное
указание на этот предмет, вводя для него имя, участвующее далее во всех
рассуждениях. Другой способ понимания существования в отношении предметов
математики также связан скорее с предположением о существовании (по крайней
мере, если сопоставлять его с конструктивным предъявлением индивида).
Введение целых классов предметов осуществляется с помощью мыслительного
хода, подобного тому, который был предпринят при введении отрицательных
чисел для учета расходов и долгов в разных финансовых операциях или
введении иррациональных (а затем и комплексных) чисел при решении
алгебраических уравнений. Всякий раз в рассуждение вводится некий
квази-объект, который не указывается конструктивно. Про него лишь
говорится, что он может участвовать в различных манипуляциях с числами
наравне с числами "настоящими" (например, рациональными). Для него
придумывается специальный значок, который подставляется в формулы. Причем
результатом применения к нему этих формул оказывается вполне определенное,
вычисляемое число. Сам же этот квази-объект по существу оказывается
отождествлен с тем значком, который подставляется вместо него в формулу.

Что же позволяет считать такие квази-объекты существующими. Здесь
оказывается уместна та интерпретация существования, на которой настаивал
Пуанкаре: критерием существования является свобода от противоречия. Все те
формулы, в которые подставляются введенные для таких предметов значки, не
должны противоречить друг другу. Более ясным этот критерий становится при
обращении к аксиоматическому построению математики. Паункаре писал: "Если
мы ... имеем систему постулатов, и если мы можем доказать, что эти
постулаты не заключают в себе противоречия, то мы вправе рассматривать их
как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе
предложений" ([48] с.373). Еще яснее такая интерпретация становится видимо,
если прибегнуть к более поздней терминологии. Предмет существует, если он
оказывается термом в непротиворечивой теории. Такой подход к проблеме
существования сразу же ставит проблему непротиворечивости. Мы обсудим это
подробнее, когда будем разбирать взгляды Гильберта.

Нашей ближайшей задачей будет углубление названных здесь интерпретаций
существования. Каждая из них имеет достаточно солидную
философско-математическую базу. Построение такой базы требует выявления
ряда предпосылок, неявно присутствующих в любом математическом дискурсе.
Сознательное прописывание такого рода предпосылок (т.е. работа, которую
можно назвать уже чисто философской) не раз предпринималось ведущими
математиками. К анализу взглядов некоторых из них мы сейчас обратимся.


ї 2 Концепция существования у Кантора

В работах Георга Кантора есть ряд пассажей, в которых он довольно точно
объясняет, что следует считать существующим в математике. Обратим внимание,
прежде всего, на следующее высказывание.

"Во-первых, мы можем считать целые числа действительными (здесь, очевидно,
имеется в виду "действительно существующими" - Г.Г.) постольку, поскольку
они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем
рассудке, вполне ясно отличаются от всех остальных составных частей нашего
мышления, находятся к ним в определенных отношениях и, таким образом,
определенным образом видоизменяют субстанцию нашего духа." Такого рода
реальность Кантор называет "интрасубъективной" или "имманентной", которую
он отличает от реальности "транссубъективной" или "транзиентной". Последняя
приписывается числам "постольку, поскольку их приходится рассматривать как
выражения или отображения процессов во внешнем мире, противостоящем
интеллекту". Внешний мир, что немаловажно, включает как "телесную", так и
"духовную природу". "Для меня - пишет далее Кантор - не подлежит никакому
сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что
какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении,
обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях транзиентной
реальностью." ([31], c.79)

Итак "транзиентная реальность", будучи трансцендентным интеллекту внешним
миром, все же совершенно адекватно представлена определенными понятиями.
Эта определенность и должна служить своего рода критерием существования.
Поскольку основные усилия Кантора направлены на обоснование реальности
объектов создаваемой им теории бесконечных множеств, то речь должна идти
главным образом об определенности этих множеств и их элементов. Если нам
удастся установить их ясную "отличимость от всех остальных составных частей
нашего мышления", то мы можем быть уверены, что они совершенно адекватно
представляют предметы внешнего мира (причем, скорее "духовной" нежели
"телесной" природы - поскольку речь идет о бесконечных множествах). Поэтому
математика "при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с
имманентной реальностью своих понятий и не обязана вовсе проверять также их
транзиентную реальность" (с. 79-80; курсив Кантора). Здесь уместно
следующее рассуждение, проводимое Кантором несколько ранее. "Многообразие
(совокупность, множество) элементов,принадлежащих любой сфере понятий, я
называю вполне определенным, если на основе его определения и вследствие
логического принципа исключенного третьего становится возможным
рассматривать внутренне определенным как то, является или не является его
элементом любой объект из этой сферы понятий, так и то, равны или нет друг
другу два принадлежащих множеству объекта, несмотря на формальные различия
в способах их задания." ([31], c. 50-51; Курсив Кантора).

Выяснять принадлежит ли данный предмет указанному множеству, а также
устанавливать его тождественность с другим предметом на основании закона
исключенного третьего, можно лишь предположив у него наличие определенных
свойств. Последнее означает, что предмет рассматривается как сущность,
могущая выступать в качестве субъекта суждения. Такой предмет должен быть
введен в рассуждение с помощью родо-видового определения, т.е. опять же
через указание его существенных свойств. Следовательно Кантор склонен
рассматривать множество именно как класс сущностей объединенных на
основании определенной общности признаков. Поскольку в его теории сами
множества могут рассматриваться как элементы других множеств, то значит и
сами эти классы следует считать сущностями. Любая сущность-множество
задается с помощью набора определяющих свойств своих элементов, через
которые устанавливаются также и свойства самой этой сущности.

Объекты своей теории Кантор вводит с помощью отвлечения общих признаков,
присущих классу сходных предметов. Именно так он определяет понятия
мо