гла, в который может вместиться Солнце, так как кое-что от Солнца усматривалось по обе стороны цилиндра; поскольку же глаз нельзя считать смотрящим как бы из одной точки, но из некоторой площадки, то я взял круглую площадку, по величине не меньшую зрачка, и поместил ее на конец линейки". В этом отрывке поражает недоверие ученого к органам чувств и его попытка учесть при измерении размеры зрачка. Архимед уже в то время сознавал, что абсолютной точности при измерении добиться нельзя.
      Описав получение значения угла "не большего", чем диск Солнца, он рассказывает о нахождении значения угла "не меньшего": "Если на линейке отодвинуть цилиндр настолько, чтобы он полностью заслонял Солнце, и от конца линейки, где помещался глаз, провести прямые касательные к цилиндру, то угол... будет не меньше угла, в который могло бы вместиться Солнце".
      Таким образом, Архимед получил два значения угла - 1/164 и 1/200 доли прямого угла, между которыми находится искомый видимый поперечник Солнца. Если перевести эти значения в наши меры, то получатся углы 35'55" и 27'. Действительный видимый поперечник Солнца (32') лежит в найденных Архимедом пределах, причем ближе к большему значению.
      Приведенный отрывок дает представление об Архимеде как наблюдателе неба и о приборах, которыми пользовались астрономы того времени. Мы видим, что "угломер" Архимеда был очень примитивным, но методика измерений была безупречной. Увеличивая размеры цилиндра и линейки, можно было значительно сблизить границы, между которыми заключалась измеряемая величина. Интересно применение Архимедом "маски", заслоняющей Солнце, в форме цилиндра, а не в виде прямоугольной планки. Очевидно, ученый хотел таким образом исключить ошибки, которые могли бы возникнуть при неперпендикулярности планки лучу зрения. Указание о том, что цилиндр должен быть выточен на станке, тоже имеет смысл: токарная обработка обеспечивает правильность его формы.
      В "Псаммите" есть еще одно важное для истории астрономии место: получив видимый угловой диаметр Солнца, Архимед учитывает, что проводил наблюдения с поверхности Земли, а не из ее центра. При расчете расстояния между центрами Солнца и Земли он вносит соответствующую поправку. Это нововведение является важным вкладом в астрономическую науку.
      "Числа Ипполита" и система мира Архимеда
      Пожалуй, самым интересным в сохранившемся астрономическом наследии ученого являются приведенные в сочинении Ипполита двенадцать величин расстояний между планетами. Проделанный анализ этих чисел позволил частично восстановить примененную Архимедом методику определения размеров планетных орбит и воссоздать систему мира, которой он придерживался.
      Ипполит был римским епископом и вел активную литературную полемику с различными "ересями", причем часто и подробно цитировал своих противников. Разбирая мнения разных астрономов о размерах мира, он привел величины межпланетных расстояний, вычисленных Архимедом.
      Текст Ипполита, относящийся к Архимеду, можно условно разбить на три части. В первой приводятся восемь расстояний между орбитами небесных тел, причем не всегда ясно, от какой орбиты ведется отсчет: "Расстояние от поверхности Земли до лунной орбитам,.. Архимед (оценивает) в 554 мириады 4130 единиц стадий (1 стадий = 150...190 м. - Прим. ред.); от лунной до солнечной орбиты - стадий 5026 мириад 2065 единиц; от нее до орбиты Венеры - стадий 2027 мириад 2065 единиц, от нее до орбиты Меркурия..." (см. табл.).
      Во второй части Ипполит говорит об архимедовых размерах "сферы неподвижных звезд". "Периметр же зодиака он принял четыре вторых числа 4731 мириада, таким образом получается, что расстояние от центра Земли до самой крайней поверхности будет шестой частью этого числа"... (Число я принимается равным трем.)
      Числа Ипполита
      
      №
      Наименование расстояний (согласно тексту Ипполита)
      Значения расстояний
      Введенные обозначения
      
      
      мириады (десятки тысяч) стадий 
      единицы стадий
      
      1
      От поверхности Земли до Луны
      554
      4130
      a
      2
      От лунной до солнечной орбиты
      5026
      2069
      b
      3
      От нее до орбиты Венеры
      2027
      2065
      c
      4
      От нее до орбиты Меркурия
      5081
      7165
      d
      5
      От нее до орбиты Марса
      4054
      1108
      e
      6
      От нее до орбиты Юпитера
      2027
      5065
      f
      7
      От нее до орбиты Сатурна
      4037
      2065
      g
      8
      От нее до зодиака
      2008
      4009
      h
      9
      Периметр зодиака
      44731
       
      i
      10
      От орбиты Сатурна до Земли
      12160
      4454
      k
      11
      От Меркурия до Земли
      5269
      8259
      l
      12
      От Венеры до Земли
      5081
      5160
      m
      13
      Радиус Земли (дан без ссылки на Архимеда)
      4
       
      n
      
      "Вторыми числами" в "Псаммите" Архимед называл мириады мириад, т.е. сотни миллионов. Это введенное им обозначение не прижилось, и поэтому упоминание "вторых чисел" подтверждает, что Ипполит привел данные, действительно принадлежащие Архимеду.
      Наконец, в последней части отрывка приводятся архимедовы расстояния от трех планет до Земли: "От орбиты Сатурна до Земли, - как он говорит, - будет вторых чисел одна единица 2160 мириад 4454 единицы стадий; от Меркурия до Земли 5268 мириад 8259 единиц; от Венеры до Земли 5081 мириада 5160 единиц".
      Эти числа представляются как бы "лишними", так как их, казалось бы, можно вычислить из предыдущих. Но именно "избыточность" информации, заключенная в них, является, как мы увидим, решающей при анализе всей группы чисел.
      Эти двенадцать чудом сохранившихся архимедовых чисел позволяют воссоздать хотя бы приблизительно облик "вселенной Архимеда".
      В группе чисел, сохраненных Ипполитом, действительно удалось найти ряд математических соотношений.
      Во-первых, некоторые из вычисленных Архимедом межпланетных расстояний кратны какому-то "модулю", равному 2027 мириадам стадий, который, по-видимому, является радиусом орбиты Меркурия. Так, расстояние "до орбиты Марса" (е = 4054) вдвое больше "модуля", а расстояние "от орбиты Сатурна до Земли" (k = 12160) равно "модулю", взятому 6 раз (с точностью до двух мириад стадий).
      Во-вторых, совершенно определенно очерчивается граница мира - небо недвижных звезд. Расчеты радиуса этой сферы двумя разными путями дают один и тот же результат. Действительно, если к радиусу орбиты Сатурна (числу k = 12160) прибавить расстояние до зодиака (h = 2008), то получится 14168. Если же поделить на ? число i = 44731, считая его полупериметром зодиака, получится для радиуса сферы неподвижных звезд 14 180 мириад стадий, т.е. значение, близкое к первому.
      Наконец, в-третьих, "модуль" (число с = 2027), расстояние от Земли до Солнца А и не совсем понятное расстояние от Меркурия до Земли (число l) подчиняются теореме Пифагора.
      Расстояние от Земли до Солнца состоит из радиуса Земли (числа n = 4), расстояния от ее поверхности до орбиты Луны (числа a = 554) и расстояния от лунной до солнечной орбиты, которым, видимо, является число d = 5081. Сумма этих чисел составляет А = 5640 мириад стадий.
      Легко видеть, что
      
      Действительно,
      
      Для числа l в тексте приведено значение 5269. Таким образом, несовпадение составляет всего 5 мириад стадий.
      Итак, если из отрезков А, с и l сложить треугольник, то он окажется прямоугольным, а угол между сторонами А и l будет равен 21°, что близко к углу наибольшего видимого отклонения Меркурия от Солнца. Найденное соотношение несомненно представляет собой след вычисления Архимедом радиуса орбиты Меркурия.
      Если считать планету обращающейся вокруг Солнца, то размер ее орбиты легко вычислить, воспользовавшись перпендикулярностью касательной и радиуса, проведенного из центра в точку касания (рис. 5). Действительно, луч зрения земного астронома, наблюдающего планету в момент ее наибольшего видимого удаления от Солнца, будет касательным к орбите. Зная расстояние от Земли до Солнца (катет) и угол между этим катетом и гипотенузой (его можно измерить), легко вычислить длину второго катета, который и будет искомым радиусом орбиты. Этот способ годится для определения радиусов орбит так называемых "нижних планет" - Меркурия и Венеры.
      
      Рис. 5. Схема определения относительного радиуса орбиты планеты
      Числа Ипполита дают возможность воссоздать облик "вселенной Архимеда" (рис. 6).
      
      Рис. 6. Система мира Архимеда (указаны межпланетные расстояния в мириадах стадий). a = 554, d = 5081, A = 5640, c = 2027, h = 2007, n = 4
      В ее середине находится Земля, вокруг нее обращаются Луна и Солнце. Орбиты трех ближайших планет - Меркурия, Венеры и Марса - очерчены вокруг него. Радиусы планетных орбит кратны между собой и относятся как 1:2:4. Интересно, что эти соотношения близко отражают действительность. По данным Архимеда, относительное (по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца) значение радиуса орбиты Меркурия составляет 0,36 (в действительности 0,39, ошибка 8%), орбиты Венеры 0,72 (совпадает с действительным), Марса 1,44 (в действительности 1,52, ошибка 5%). Такое совпадение не может быть случайным, ясно, что радиусы орбит этих планет получены на основе наблюдений с высокой по тем временам точностью. (Правда, расчеты Архимеда, относящиеся к другим планетам, оказались неверными.) Таким образом, числа Ипполита свидетельствуют о наиболее раннем из известных науке определении межпланетных расстояний. Оно удалось Архимеду потому, что он исходил из удачной модели, считая орбиты этих планет гелиоцентрическими.
      Интересной особенностью системы мира Архимеда является пересечение орбит Сатурна и Юпитера с орбитой Марса. Это построение, хотя и является неверным, помогает нам судить о физических представлениях ученого. Такое пересечение орбит совершенно исключает гипотезу цельных сфер, несущих небесные тела, и определенно говорит о том, что Архимед представлял себе планеты как отдельные тела, летящие в пространстве.
      Небесный глобус Архимеда
      Видевшие глобус отзывались о нем с восхищением. Сам Архимед, вероятно, высоко ценил это свое детище, так как написал об устройстве глобуса специальную книгу, которая, к сожалению, до нас не дошла. О небесном глобусе Архимеда мы можем судить только по сохранившимся упоминаниям.
      Самое раннее упоминание о глобусе Архимеда относится к I в. до н.э.
      В диалоге знаменитого римского оратора Цицерона "О государстве" разговор между участниками беседы заходит о солнечных затмениях, и один из них рассказывает: "Я вспоминаю, как я однажды вместе с Гаем Сульпицием Галлом, одним из самых ученых людей нашего отечества... был в гостях у Марка Марцелла... и Галл попросил его принести знаменитую "сферу", единственный трофей, которым прадед Марцелла пожелал украсить свой дом после взятия Сиракуз, города, полного сокровищ и чудес. Я часто слышал, как рассказывали об этой "сфере", которую считали шедевром Архимеда, и должен признаться, что на первый взгляд я не нашел в ней ничего особенного. Более красива и более известна в народе была другая сфера, созданная тем же Архимедом, которую тот же Марцелл отдал в храм Доблести. Но когда Галл начал с большим знанием дела объяснять нам устройство этого прибора, я пришел к заключению, что сицилиец обладал дарованием большим, чем то, каким может обладать человек. Ибо Галл сказал, что... сплошная сфера без пустот была изобретена давно... но, - сказал Галл, - такая сфера, на которой были бы представлены движения Солнца, Луны и пяти звезд, называемых... блуждающими, не могла быть создана в виде сплошного тела; изобретение Архимеда изумительно именно тем, что он придумал, каким образом при несходных движениях во время одного оборота сохранить неодинаковые и различные пути. Когда Галл приводил эту сферу в движение, происходило так, что на этом шаре из бронзы Луна сменяла Солнце в течение стольких же оборотов, во сколько дней она сменяла его на самом небе...".
      В III в. н.э. о глобусе упоминает римский христианский писатель - Лактанций. Воспользовавшись глобусом как материалом для риторического украшения, Лактанций достаточно много говорит о возможностях прибора: "Я вас спрашиваю, ведь мог же сицилиец Архимед воспроизвести облик и подобие мира в выпуклой округлости меди, где он так разместил и поставил Солнце и Луну, что они как будто совершали каждодневные неравные движения и воспроизводили небесные вращения; он мог не только показать восход и заход Солнца, рост и убывание Луны, но сделать так, чтобы при вращении этой сферической поверхности можно было видеть различные течения планет..."
      Последнее упоминание о глобусе принадлежит римскому поэту V в. Клавдиану. Клавдиан воспел архимедов глобус в стихах незадолго до захвата Рима готами. Само появление такого стихотворения показывает, что в эпоху крушения империи, упадка наук и распространения мистицизма глобус Архимеда был для людей символом могущества человеческого разума. Тон стихотворения не оставляет сомнений в том, что Клавдиан видел архимедов глобус в действии (больше чем через 600 лет после его создания!):
      Неба устав, законы богов, гармонию мира -
Все Сиракузский старик мудро на землю принес.
Воздух, скрытый внутри, различные движет светила
Точно по дивным путям, сделав творенье живым.
Ложный бежит зодиак, назначенный ход выполняя,
Лик поддельный Луны вновь каждый месяц идет.
Смелым искусством гордясь, свой мир приводя во вращенье,
Звездами вышних небес правит умом человек.
      В приведенных отрывках бросается в глаза изумление перед этим творением Архимеда. Для Цицерона создание подобного глобуса доступно лишь ученому, обладающему "дарованием большим, чем то, каким может обладать человек". Клавдиан восхищается мудростью ученого, как бы укравшего у богов тайны "гармонии мира". Причем "чудесность" глобуса связывается не с его внешним видом, а с внутренним устройством. Об этом говорит и Цицерон.
      Основой механического глобуса Архимеда был обычный звездный глобус, на поверхность которого наносятся звезды, фигуры созвездий, небесный экватор и эклиптика - линия пересечения плоскости земной орбиты с небесной сферой. Вдоль эклиптики расположены 12 зодиакальных созвездий, через которые движется Солнце, проходя одно созвездие в месяц. Не выходят за пределы зодиака и другие "блуждающие" небесные тела - Луна и планеты (их орбиты лежат примерно в той же плоскости, что и земная). Глобус закрепляется на оси, направленной на полюс мира (полярную звезду), и погружается до половины в кольцо, изображающее горизонт. Созвездия показаны на нем зеркально. И для того чтобы представить себе, как они выглядят на небе, надо мысленно перенестись в центр шара. Звездный глобус использовали как подвижную карту звездного неба. Зная, в каком созвездии будет находиться в момент наблюдения Солнце (например, июль оно проводит в созвездии Рака, август - в созвездии Льва, сентябрь - в созвездии Девы и т.д.), глобус вращали до тех пор, пока это созвездие не заходило за круг горизонта. Такому положению глобуса соответствовал вид звездного неба вечером. Поворачивая шар на нужные углы, можно было легко узнать вид неба в любое время. Естественно, что какая-то часть шара никогда не оказывалась выше горизонта; в этой части находились созвездия южного полушария, неизвестные ученым того времени.
      Солнце, Луна и звезды на обычном звездном глобусе отсутствуют, их невозможно изобразить, так как они непрерывно меняют свое положение по отношению к звездам. Архимеду как раз и удалось решить эту задачу. Заставив с помощью специальных механизмов перемещаться макеты светил, он создал своеобразный планетарий, демонстрировавший все видимые движения небесных тел и даже фазы Луны.
      Зная возможности архимедова глобуса, можно в какой-то мере судить о его конструкции. Такая попытка реконструкции была сделана, и сейчас мы с большой долей вероятности можем представить себе, как он был устроен.
      По-видимому, вдоль круга зодиакальных созвездий в медной обшивке сферы были прорезаны продолговатые окна, за которыми перемещались макеты светил. "Светила" приходили в движение, когда глобус начинали вращать. При этом "... "Луна" сменяла "Солнце" в течение стольких же оборотов, во сколько дней она сменяла его на самом небе..." (Цицерон), т.е. движения глобуса и светил были кинематически связаны между собой в соответствии с действительными соотношениями скоростей небесных тел. Так, за один оборот глобуса "Луна" должна была перемещаться на 1/27 долю окружности в направлении, противоположном направлению его вращения, в то же время "Солнце" должно было проходить за "Луной" путь, примерно в 12,5 раза меньший. Такого эффекта можно добиться, поместив внутри глобуса ось, перпендикулярную эклиптике, и закрепив на ней держатели с макетами светил. Держатели должны были быть связаны между собой с помощью многоступенчатых зубчатых передач, разработанных Архимедом.
      Для того чтобы представить себе, как мог Архимед показать на своем глобусе фазы Луны, можно обратиться к старинным часам. Многие стенные и настольные часы XIX в. имели механизмы, изображавшие лунные фазы. При этом применялись два способа их изображения: с помощью наполовину зачерненного шара, который поворачивался на оси, или с помощью шторки, прикрывавшей изображение лунного диска. Первый способ дает более точное изображение фаз Луны. Любопытно, что в древности существовала гипотеза именно такой природы лунных фаз. Витрувий сообщает, что вавилонский астроном Берос учил, что "Луна есть шар наполовину блестяще-белый, наполовину лазоревого цвета". Фазы, как он считал, происходили из-за вращения Луны. При этом Витрувий тут же излагает и правильное объяснение лунных фаз, данное Аристархом Самосским. При использовании шторки точное изображение фаз невозможно; в ряде случаев вместо "вогнутого" серпа получается выпуклость, что, впрочем, нисколько не смущало часовщиков. Оба способа мог применить и Архимед, связав зубчатой передачей шарик или шторку с держателем "Солнца".
      Сложнее должно было обстоять дело с планетами. Их движение неравномерно: иногда планеты останавливаются, идут назад, потом снова устремляются в прежнем направлении, чертя среди звезд характерные петли.
      Для воспроизведения планетных движений Архимед мог воспользоваться астрономическими построениями Евдокса. Знаменитый геометр показал, что сложное движение планеты можно разложить на равномерное движение вдоль эклиптики некоего центра и колебательное движение небесного тела относительно этого центра. Такое движение могло осуществляться с помощью особого планетарного механизма. По-видимому, в глобусе использовался и пневматический привод в виде сопел и воздушных турбинок, причем, скорее всего, он применялся для вращения механизмов колебательного движения "планет". Воздух, вероятно, должен был нагнетаться насосом или воздушными мехами, когда глобус начинали вращать.
      Разумеется, описанная конструкция не претендует на полную достоверность; это одно из возможных решений задачи создания механического "планетария", позволяющее оценить сложность проблем, с которыми должен был столкнуться Архимед.
      В античную эпоху не существовало механизмов, по сложности хоть сколько-нибудь близких к "архимедовой сфере". Этим и объясняется восхищение писавших о ней авторов, которые, вероятно, несколько переоценивали ее сложность.
      О том, что у Архимеда были продолжатели, свидетельствуют найденные остатки астрономических часов (или подвижного астрономического календаря), относящихся к I в. до н.э. Части этого прибора были найдены в 1900 г. на поднятом со дна моря недалеко от острова Антикитира античном корабле. Эти части были покрыты толстым слоем отложений. Началась кропотливая работа по расчистке и реконструкции прибора, которая продолжалась не одно десятилетие и полностью не закончена до сих пор. Прибор представлял собой бронзовую коробку, в которой помещалось несколько дисков, соединенных слож