ях и средствах доказательства.
	Кроме того, есть обстоятельс!ва, особенно осеняющие неотвратимость дополнения логических операций интуитивными.
	Казалось бы, нас не должен смущать вопрос, что такое доказательство и как его проводить. Известно, из каких частей оно состоит, разработаны четкие правила действий с ними, указаны типичные ошибки. Но вот что пишет известный современный математик и логик И. Лакатос.
	Математики прикладных направлений считают, что доказательство - дело "чистых" математиков, теоретиков математической мысли, которые умеют проводить "полные" доказательства и знают в них толк. Увы! "Чистые", в свою очередь, принимают только те "полные" доказательства, которые строятся логиками. Что же касается собственно математических, то есть "неполных" доказательств, то, по убеждению ряда ученых, таких, как, например, Г. Харди, Д. Литтльвуд и сам И. Лакатос, это достаточно неопределенная вещь, чтобы можно было говорить о её существовании.
	Иными словами, доказательство протекает как импровизация, призывающая на помощь не только строгие логические методы, но и воображение, интуицию.
	Конечно, здесь тоже не обошлось без преувеличений, но посевы истины в этом есть.
	С другой стороны, на этапах интуитивною искания проявляет свою власть и сознательно-логическое. Это выражается прежде всего в том, что сознательное определяет, так сказать, стратегию поиска, формирует ею цели, задает программу. Поэтому в стадии инкубационного вызревания идеи исследователь, конечно, периодически возвращается к условиям задачи, варьирует и уточняет их, шлифует смысл проблемы. Короче, держит её под неослабным прицелом, подталкивая интуицию к заданной цели. Когда И. Ньютона однажды спросили, как он пришел к своим открытиям, великий физик ответил: "Я постоянно думал о них... Я постоянно держу в уме предмет своего исследования...". Еще более характерно признание А. Эйнштейна. В одном из многочисленных интервью он следующим образом описал десятилетний период вынашивания теории относительности. В течение этих лет, отмечал он, имелось чувство движения вперед по направлению к чему-то конкретному, хотя это чувство трудно выразить в словах. Позади этого направления стояло нечто логическое, "но я имел его, - заключает ученый, - в виде обзора в зрительной форме".
	Избрав тему, исследователь постоянно нагнетает проблемную ситуацию, пополняет её новыми деталями, пробуждает психологические ассоциации. Говорят даже о сознательном развитии интуиции, её воспитании.
	Поэтому хотя само открытие ускользает из-под логическою надзора, вершится вне контроля сознания, вопрос о контроле вообще, конечно, не снимается. Ибо ученый решает определенную познавательную задачу, "запрограммирован" на известную цель.
	Но логическое проявляется в период инкубации не только в этом. Оно дает о себе знать даже в операциях при решении задач, то есть в типично, казалось бы, интуитивном процессе.
	Выделяют два способа решения задач: систематический и эвристический. Первый - метод проб и ошибок.
	Он по праву считается логическим, ибо предполагает построение алгоритма, рассчитанного на систематический анализ ситуации. К примеру, так, как рекомендуется в известном анекдоте: чтобы найти льва в пустыне, надо разбить её на клетки и затем просматривать одну за другой. Метод эют широко используется при задании ЭВМ программ поиска на основе перебора вариантов.
	Эвристический путь, то есть путь, использующий вспомогательные приемы, окольные, обходные движения к цели, строится на догадке и потому связан с интуицией. Однако и на этом пути при решении некоторых типов задач обращаются к лотке.
	Возьмем, к примеру, метод "последовательных приближений". В нем явно просматривается логическое начало.
	Положим, поставлена сложная задача. Эвристика - наука о наводящих, дополнительных средствах поиска истины - рекомендует попытаться превратить условие задачи в решение. Иногда это удается. Если же не удается, тогда надо поискать пути, как уменьшить между ними (между условием и решением) разрыв. Собственно, здесь имеется единственная возможность - изменить условие задачи. Делаем первый шаг. Проверяем. Если измененный вариант условия не переводится в решение, нужно испытать новую комбинацию. Так постепенно, уменьшая различие, можно сблизить условие и решение задачи. Поясним наши рассуждения следующей иллюстрацией.
	Пусть вам предстоит попасть из одного пункта (А) в другой пункт (Б). Но мы не знаем, как это сделать.
	Между тем знанием, которое имеется, и тем, которое необходимо, чтобы достичь желаемого, информационный разрыв. Вдумываясь в обстановку, находим способ, который мог бы уменьшить информационный голод, но мы не знаем, как этот способ применить. Здесь и полезно изменить начальные условия задачи так, чтобы найденный способ можно было использовать в движении к цели. Если это удается, тогда задача становится иной: попасть в пункт Б уже не из пункта А, но из другого пункта, который ближе к цели. Допустим, и на этот раз мы все же не достигаем пункта Б. Значит, надо снова видоизменить условие, чтобы ещё более сократить разрыв, и так далее.
	Более того, некоторые исследователи (Л. де Бройль, Г. Селье) выделяют два типа ученых. Их называют "интуитивисты" и "логисты"; имеется в виду преимущественное использование ими методов либо интуитивного, либо логического поиска.
	Так, "интуитивисты" скорее апеллируют к догадке, любят привлекать образы. Несклонные к длительной осаде позиции, они пытаются решать проблемы с ходу, нередко с первою же удара добиваются успеха. Наиболее яркие фигуры среди них - Г. Лейбниц, Э. Торричелли, Ж. Фурье да и многие другие.
	Напротив, "лошсты" любя! систематические исследования. Они продвигаются вперед шаг за шагом с последовательностью того полководца, который готовит штурм крепости, ничего не оставляя на волю случая.
	Следуя строгой аналитической выучке, ученые этого типа склонны обходиться без образов, избегают полаяться на догадки и строят новые теории преимущественно логическими средствами. Так, к примеру, проводил свое исследование великий шведский систематик К - Линней.
	Костяк его теории - классификация. Столь же методически рассудочно, способом проб и ошибок, шел обычно к открытию Т. Эдисон.
	Конечно, это деление в известной степени условно.
	Большинству ученых подходят, по-видимому, промежуточные характеристики с той или иной мерой склонности к "логическому", а в основной массе к "интуитивистскому" типу. Нам важно подчеркнуть, что в практике научного творчества мы встречаемся не просто с отдельными приемами логического поиска решения там, где, казалось бы, безраздельно властвует интуиция, но и, как видим, с особым строем мышления исследователя, называемым лошческнм. Это заставляет признать немалые творческие возможности логики, хотя она и не ставит целью быть инструментом открытия.
	Но как бы нам не угодить в другую крайность. Дело в том, что распространено мнение, будто интуиция - всего лишь замаскированное логическое. Дескать, в основе интуитивной догадки лежат те же четкие алгоритмы мыслительной деятельности, только мы их не осознаем; они свернуты, и потому целые звенья рассуждений выпадают. Так интуиция объявляется сокращенным вариантом логики.
	Применительно к врачебной диагностике, например, такое истолкование интуитивного предлагает Г. Шингарев, один из советских исследователей. Едва больной входит в кабинет, пишег Г. Шингарев, как опытный врач уже по первым признакам, не успев собрать и десятой доли необходимых фактов, ставит диагноз. Он делает это, мгновенно пробежав по цепи умозаключений, которая в других случаях, у другого врача развертывается значительно медленнее, основательнее, последовательно переходя от этапа к этапу. Любая интуитивная до!адка, полагают сторонники приведенной точки зрения, может быть описана логическими средствами более мощной системы знания.
	Может быть, в этом и есть своя правда. Однако на обозрение не представлено ни одного подобного отчета, где была бы логически описана, пусть с пропусками, процедура интуитивно найденного решения.
	Мы можем подвести итог. Есть интуитивные, неосознаваемые процессы и есть процессы логические - такие, в которых мы отдаем отчет. В научном поиске они не вступают в противоречия, но и не подменяют др)г друга, а вместе, дополняя один другого, ведут ученого дорогой открытия. Как полагает большинство исследователей (хотя в науке вопросы не решаются большинством), интуитивное и логическое не разделены непроницаемой переборкой. Поисковый процесс, беря истоки в сознательном, уходит затем в сферу неосознаваемого, потом возвращается и снова уходит. Между ними постоянно общение, и лишь благодаря этому рождается открытие.
	Конечно, их характеризует известное "разделение труда". Если целью научного поиска является строгая логическая завершенность, то ведет к этому не столько логика, сколько интуиция. С другой стороны, логическое призвано узаконить и санкционировать завоевания интуиции. Логика - это своего рода гигиена, которую соблюдает наука, чтобы вынашиваемые идеи оставались жизнеспособными. То есть логика несет функции контроля, обязывая отвергнуть некоторые доводы, но и не претендуя на то, чтобы заставить принять любое доказательство, поскольку оно логично.
	Искусство ученого - в способности сочетать оба эти начала: свободу воображения, питаемого интуицией, и холодный расчет; умение строить воздушные замки, но и умение обосновать их совсем не призрачную реальность Эта обособленность интуитивного и логического в рамках их союза находит подтверждение с неожиданной стороны. Современная нейрофизиология достаточно убедительно показала наличие в работе полушарий мозга функциональной асимметрии. Левое сосредоточилось на абстрактном, логико-аналитическом мышлении, правое же ответственно за интуицию и образность, за художественное творчество.
	Вместе с тем в процессах деятельности полушария не изолированы, ибо "обслуживают одного "хозяина".
	Может быть, как считает советский исследователь В. Смирнов, эта специализация - подарок, преподнесенный человеку эволюцией? Правая половина мозга оставила за собой "сторожевые функции", слежение за внешней средой. Поэтому она все "видит" конкретно, эмоционально окрашенно, работая на уровне чувств.
	Это позволило частично высвободить левое полушарие для анализирующей, обобщающей деятельности. В результате, помогая друг другу, полушария и разрешают жизненные задачи.
	Так и в процессах научного творчества. Они трудятся сообща - чувства и разум - великое содружество по существу противоположных начал! Как был прав Г. Лейбниц, который однажды заметил: "Чувства нам необходимы для того, чтобы мыслить Если бы у нас не было чувств, мы не могли бы думать". Примечательно, что сам-то Г. Лейбниц - убежденный рационалист.
	Он разделял доктрину, согласно которой разум (рацио)
	составляет основу бытия, познания, морали, а потому противостоит чувственному началу и, только преодолевая его, способен постигать сущность вещей.
	Союз чувства и разума проявляется и в других моментах научной деятельности.
	Не будем забывать, что творческий поиск сопровождается эстетическими переживаниями, которые не только эмоционально поддерживают работу ученого, но и помогают ему в собственно созидательных действиях.
	А. Пуанкаре отмечает, например, следующее. Открытие в математике состоит, по его мнению, не просто в конструировании всевозможных комбинаций, а в отборе того меньшинства из них, которое приносит пользу.
	То есть открытие в значительной мере есть отбор Но отбор, меньше всего представляющий перебор вариантов, наподобие того, как покупатель выбирает товар.
	Иначе операция затянулась бы до бесконечности.
	Дело в том, что в сферу внимания ученого попадают обычно лишь плодотворные сочетания, а остальные сразу же отметаются. Получается так, словно исследователь держит в уме некоего предварительного экзаменатора, допускающего к окончательным испытаниям только тех кандидатов, которые удовлетворяют определенным требованиям. Как считает А. Пуанкаре, роль этого предварительного экзаменатора и выполняют эстетические идеалы красоты, изящества, элегантности. Они направляют мысль ученого по нужному руслу, служат ориентиром в его исканиях, хотя и идут, как видим, не от разума, а от чувств.
	И наконец, чувства и эмоции питают творцов науки нравственно, ибо несут с собой большую этическую нагрузку. Ученый не отгорожен от моральных проблем эпохи, ему небезразлично, в частности, как могут быть использованы его открытия: послужат ли они прогрессу человечества, или обрекут его на погибель.
	Подытоживая сказанное в этой затянувшейся главе, отметим, что интуиция отнюдь не работает против логики. Наоборот, лишь соединившись, они способны привести ученого к цели, лишь используя преимущества той и другой, можно достичь наивысшей пользы. Не разделять и не противопоставлять, а вырабатывать исследовательский настрой, опирающийся на методы единого абстрактно-эмоционального, логико-интуитивного мышления.
	
	"ПАРАДОКС ИЗОБРЕТАТЕЛЯ"
	
	ВСЕ НАОБОРОТ
	
	Что таится под названием этого парадокса? "Изобретатели велосипедов", опоздавшие родиться, или, наоборот, "чудаки", бросающие вызов здравому смыслу преждевременными открытиями?..
	Ни то, ни другое; за этим именем скрывается столь же эффективный, сколь и интригующий обозначением исследовательский прием, эвристический (содействующий открытию) помощник в исканиях ученого.
	Замечено, что научная проблема решается успешнее, если она осознана как общая и соответственно найден общий метод - такой, по отношению к которому метод решения исходной задачи оказывается лишь частным случаем. Этот прием и получил наименование "парадокса изобретателя".
	Венгерский математик Д. Пойа, к авторитету которого мы обращаемся не только здесь, говорит о парадоксе в следующих выражениях: "Легче доказать более сильную теорему, чем более слабую". Напомним, что "слабым" принимается положение, логически выводимое из другого - "сильного". По-видимому, само название "парадокс изобретателя" изобрел где-то в начале нынешнего века также Д. Пойа. Во всяком случае, исследователи (И. Лакатос, например, тоже венгр) за разъяснениями отсылают к нему.
	Чуть ранее немецкие математики П. Дирихле и Р. Дедекинд делятся наблюдением: "Как часто случается, общая задача оказывается легче, чем была бы частная, если бы мы пытались решить её непосредственно в лоб".
	Ситуация, что и говорить, необычная. Кажется естественным, что частная, близкая к повседневности, жизненным наблюдениям задача должна скорее поддаваться решению, нежели общая, "сильная", то есть, надо полагать, более глубокая. А получается наоборот. Получается, что к абстрактной, отрешенной от практики проблеме можно подобрать ключи быстрее, чем к проблеме, насыщенной конкретным, опытным содержанием.
	И все же, сколь ни парадоксально положение, ему находятся удовлетворительные, можно сказать, вполне беспарадоксальные объяснения. По прежде чем рассказать о них, обратимся к свидетельствам истории науки.
	Уже древним мыслителям означенный поворот мысли был ведом. Упомянутый прием лежит, в частности, в основе изобретенного ещё на рубеже V - IV веков до нашей эры древнегреческим математиком Евдоксом метода "исчерпывания". Он применялся для измерения площадей конкретных фигур или объемов определенных тел и других частных задач, но был найден как общий методой представлял собой достаточно эффективный способ, явившийся предтечей интегрального исчисления.
	И конечно же, мы не можем пройти мимо факта, хотя и снискавшего хрестоматийную известность, но очень убедительно демонстрирующего наш парадокс.
	В III веке до н. э. тиран города Сиракузы Гиерон поручил однажды своему подданному Архимеду (находившемуся, кстати сказать, в близком родстве с Гиероном) определить, не подмешано ли к его золотой царской короне, изготовленной ювелирами, менее благородное серебро. Эту сугубо частную задачу Архимед смог решить лишь как общую, выявив знаменитый закон "подъемной силы", действующей на погруженное в жидкость тело.
	...Долго бился Г. Лейбниц над задачей проведения касательной к кривой в заданной точке. Задача пришла из области строительной архитектуры и представлялась достаточно частной, но никак не давалась. А не пойти ли в обход, подумал ученый? То есть не решать ли не эту, а другую задачу, более общую, которая включала бы исходную в качестве одного из вариантов, но была значительно легче? Конкретно дело обстояло так.
	Г. Лейбниц представил, что разыскивает не касательную, а прямую, пересекающею нашу кривую в данной точке (точке касания) и в некоторой другой, удаленной от первой известным расстоянием. В результате речь шла уже о проведении секущей. А это не составляло особого труда и осуществлялось благодаря уже разработанным приемам; скажем сильнее: с этой задачей мог справиться и школьник, знающий уравнение прямой.
	Но, решив это, находим касательную уже как частный случай, именно путем сближения точек, когда расстояние между ними по дуге оказывается минимальным и в точке касания сводится к нулю, исчезает.
	Так было изобретено дифференциальное исчисление - мощный, применимый во всех науках метод.
	Определение же касательной - лишь эпизод в обширном классе проблем, которые могут быть решены с помощью этого всесильного математического аппарата.
	Будучи не только математиком, но и философом, Г. Лейбниц не преминул выступить с методологическим наставлением. Он записывает: решая познавательною задачу, полезно "придумать какую-нибудь другую, общую задачу, которая содержит первоначальную и легче поддается решению". Как видим, это одно из первых осознаний (или, как нынче стало модным говорить, одна из рефлексий) "парадокса изобретателя". Затем последовало его использование в качестве инструмента эвристики.
	Аналогичный прием, то есть поиск общего решения частной проблемы, лежал и у истоков интегрального исчисления.
	Об И. Кеплере в ту пору, когда он стал знаменитым астрономом, императорским математиком и математиком провинции Верхняя Австрия (других титулов за неимением места не приводим), рассказывают. В 1613 году 42-летний ученый только что начал новую жизнь со второй женой Сусанной. Как заботливый муж, он решил запастись вином, благо был небывалый урожай винограда и вино стоило дешево. Когда бочки доставили во двор, появился купец, который, пользуясь лишь мерной линейкой, уверенно определял количество вина. Он опускал линейку в отверстие сосуда до упора в угол днища и после этого объявлял число амфор (тогдашняя мера емкости).
	И. Кеплер был поражен простотой операции и даже усомнился в её надежности. Ведь бочки не имели правильной цилиндрической формы. Как же наклонный отрезок между двумя определенными точками мог служить мерой вместимости? Тем более что, как знал И. Кеплер, в других местах, на Рейне например, те же операции вычисления были громоздкими.
	Сомнения побудили ученого исследовать, как он пишет, "геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить ею основания, если таковые имеются". Основания действительно нашлись. Да ещё какие!
	Так частная задача выросла до масштабов общей и решена в качестве общей: измерение объемов, очерченных кривыми поверхностями. Интересно, что книгу, в которой излагался новый метод, И. Кеплер назвал "Стереометрия винных бочек". Таким образом, он сохранил указание на то, чему обязано своим рождением интегральное исчисление.
	Стоит заметить, что исходная задача была здесь особенно узкой, она оказалась даже не научной, а хозяйственной. То есть столь прозаической, что, по-видимому, только гений, подобный И. Кеплеру, мог, не смущаясь, заняться ею и поднять до теоретического понимания.
	Математика не исключение. Выбор математического материала лишь выдает желание более выпукло оттенить эффективность метода, затаившегося под сенью "парадокса изобретателя". Ибо математика - наука наиболее глубоких возможностей.
	Прием оправдал себя и в других обстоятельствах.
	Позволим ещё одно пояснение.
	В 1854 году к знаменитому Л. Пастеру обратились виноделы города Лилля (Франция). Очевидно, они имели на это право: несколько лет назад именно в их городе Л. Пастер получил