=> -q).
Вместо каждой переменной может быть подставлено также и сложное высказывание. Причем в принципе могут получаться как употребляемые в естественных языках преобразования мысли, так и неупотребительные (хотя все равно формально правильные).
Так, известная фраза из старой кинокомедии "Я не трус, но я боюсь" запишется формулой, содержа-щей отрицание одной из переменных: (-p /\ q), где p означает "Я трус", а q - "Я боюсь". Ее преобразо-вание в дизъюнктивное выражение по формуле (2) означает, что левая переменная должна получить отрицание (а поскольку одно уже было до этого, то их теперь над левой переменной станет два), пра-вая переменная тоже получает отрицанием, появляется также отрицание над всем выражением, и, кроме того, знак конъюнкции заменяется на дизъюнктивный:
(-p /\ q) = -(-(-p) \/ q )
Поскольку два отрицания нейтрализуют друг друга, то формула может быть упрощена до такой:
(-p /\ q) = -(p \/ (-q )
Наконец, замена переменных на повествовательные предложения даст нам высказывание, эквива-лентное первоначальному, хотя и выраженному иначе: "Неверно утверждать: или я - трус, или я не боюсь". Следовательно, слова того комедийного героя равнозначны отрицанию самоочевидной и общепринятой альтернативы: или надо считаться трусом, или надо не бояться.
Теперь преобразуем то же выражение в импликативное в соответствии с (3):
(-p /\ q) = -(-p => -q ).
Получается, что взятые нами слова можно передать также и равносильным им импликативным вы-ражением: "Неверно, что если я не трус, то я не боюсь".
Можно также попробовать преобразовать известное латинское изречение: "О мертвых - или ничего, или хорошо". Сначала напишем формулу для него: (-p \/ q), где p означает "О мертвых что-нибудь говорить", q - "О мертвых говорить хорошо". Преобразование формулы в соответствии с законом (5) пройдет в два этапа:
(-p \/ q) = (-(-p) => q)), 
(-p \/ q) = (p => q).
В обновленной формулировке это же изречение получится таким: "Если о мертвых что-нибудь гово-рить, то хорошо".
Стоит, пожалуй, обратить внимание на то, что при перестановке местами дизъюнктов соответст-вующее импликативное высказывание звучит иначе: "Если о мертвых не говорить хорошо, то, зна-чит, не говорить (о них вообще)" - формально и это правильно, хотя выглядит искусственной конст-рукцией. Возможно, конечно, преобразование этого же изречения и в конъюнкцию по формуле (4):
(-p \/ q) = -(-(-p) /\ (-q )),
(-p \/ q) = -(p /\ (-q )),
"Неверно (неправильно) говорить что-либо о мертвых и при этом не говорить хорошо".
Для преобразования выражений с тремя переменными возьмем такое сложное высказывание: "Пре-ступление раскрыто, но неверно, что его раскрыли Петров или Сидоров" -(p /\ (q \/ r)), где p - "Пре-ступление раскрыто", q - "Преступление раскрыл Петров", r - "Преступление раскрыл Сидоров". Преобразуем его в такое, которое содержит вместо конъюнкции импликацию, для чего нам понадо-бится воспользоваться законом (3), а скобку (q \/ r) мы будем рассматривать как одну переменную.
Преобразованное выражение содержит те же переменные, но вместо конъюнкции у него имплика-ция. В новой редакции оно будет звучать уже иначе, чем раньше, хотя и останется тем же самым по смыслу: "Неверно утверждать: если преступление раскрыто, то сделано это Петровым или Сидоро-вым".
С помощью указанных законов и выражающих их формул можно решать и обратную задачу - прове-рять равносильность высказываний, когда они составлены из одинаковых простых суждений. По-пробуем, например, сопоставить известную (странную) поговорку "Любопытство - не порок, но большое свинство" (1) с таким утверждением: "Неверно, что если любопытство - не порок, то тогда оно не есть свинство" (2). Можно ли считать их одной и той же мыслью, только по-разному выска-занной или же они не совпадают? Для ответа надо записать оба высказывания символами:
1) Любопытство - не порок, но большое свинство (-p /\ q) (1) 
2) Неверно, что если любопытство - не порок, то тогда оно не есть свинство -(-p => -q) (2)
где p означает "Любопытство - порок", а q - "Любопытство есть свинство".
Теперь осталось только преобразовать либо конъюнкцию в импликацию, либо, наоборот, имплика-цию в конъюнкцию и посмотреть, получается ли из одной формулы другая или нет. В данном случае проще конъюнкцию превратить в импликацию по формуле (3). В результате сразу же получим:
(-p /\ q) = -(-p => -q ).
Полученная в результате выведения формула в точности идентична выражению (2), через которую записано высказывание 2) "Неверно, что если любопытство - не порок, то тогда оно не есть свинст-во". Значит, одно получается из другого в результате преобразования и они, стало быть, эквивалент-ны. Можно провести проверку и путем преобразования второго выражения в конъюнкцию:

Разумеется, результат получается тот же самый: преобразование второго выражения дает выражение (1), и это снова позволяет утверждать, что оба высказывания эквивалентны. На практике нет необхо-димости проделывать оба преобразования, так как они оба всегда приводят к одному и тому же ито-гу. Достаточно одной проверки, выбрав ту из них, которая представляется проще. В нашем случае эта первое преобразование.
Можно проверять эквивалентность и более сложных выражений. Возьмем для примера два таких вы-сказывания с тремя переменными:
1) "Если переходишь улицу, то сначала оглянись направо и налево"
2) "Или не переходи улицу, или неверно, что надо оглянуться направо и налево"

(p => (q /\ r)) (1); (-p \/ (-(q /\ r)) (2).
Для проверки их эквивалентности надо либо (1) преобразовать в дизъюнктивное выражение по фор-муле (6), либо, наоборот, преобразовать (2) в импликативное выражение, воспользовавшись форму-лой (5), и посмотреть, получается из одного выражения другое при преобразовании или нет. Попро-буем преобразовать (2). Замена в нем дизъюнкции на импликацию
(-p \/ (-(q /\ r)) = ((=p) => (-(q /\ r));
(-p \/ (-(q /\ r)) = (p => (-(q /\ r));
как видим, приводит к выражению (p => (-(q /\ r)), которое явно отличается от (1) и звучит так: "Ес-ли переходишь улицу, то неверно, будто надо оглянуться направо и налево". Именно это предложе-ние является эквивалентным выражению (2). Не надо удивляться его несуразности: оно получено из ложного высказывания. Если бы мы стали преобразовывать выражение (1), то тогда получили бы другую формулу (-p \/ (q /\ r)), которая по-настоящему эквивалентна ему, будучи дизъюнктивной, и читается так: "Или не переходи улицу, или надо оглянуться направо и налево".
Глоссарий
Закон логики - необходимые связи мыслей; определенность - представление предмета в одних и тех же признаках; последовательность - представление предмета вместе с его связями; обоснованность - необходимость выводить высказывания из других.
А = А краткая символическая запись закона тождества.
Противоречие - утверждение и одновременное отрицание чего-либо; А не есть не-А - краткая запись закона противоречия.
Отношение противоречия (контрадикторности) - возникает между понятиями, один из которых со-держит тот или иной признак, а у другого он отсутствует; отношение противоположности (контрар-ности) - максимальная несовместимость.
Основание - довод, аргумент, подкрепляющий какое-либо высказывание; детерминизм - учение о причинной обусловленности.
Понятие - универсальная форма мышления.
Объем понятия - предметы, которые им охватываются; содержание понятия - признаки предметов, отображаемых в понятии.
Общее понятие - охватывает много (два и больше) предметов; единичное понятие - охватывает толь-ко один предмет; собирательное понятие - отображает преобладающую черту (свойство, признак) класса предметов; разделительное понятие - отображает обязательную черту всего класса предметов.
Совместимые понятия - имеют общие элементы в объеме; несовместимые понятия - не имеют общих элементов в объеме; перекрещивающиеся, равнозначные и подчиненные понятия - разновидности совместимых понятий; противоположные, противоречащие и соподчиненные понятия - разновидно-сти несовместимых понятий.
Определение (дефиниция) - формулировка, задающая содержание и объем понятия; родовидовое оп-ределение - наиболее совершенный вид определения; генетическое определение - определение, близ-кое по совершенству к предыдущему виду.
Тавтология - ошибочное определение вроде: масло масляное; соразмерность - совпадение объемов определяющего и определяемого понятий; отрицательное определение - задание предмета через от-сутствующий у него признак.
Деление понятий - операция разбиения объема понятий на виды и подвиды; основание деления - признак, по которому производится разбиение; соразмерность деления - совпадение объемов дели-мого понятия и суммы объемов, полученных в результате деления.
Истина - высказывание, содержание которого соответствует действительности; категорическое суж-дение - утверждение или отрицание каких-либо свойств у предметов.
Субъект суждения - предмет или явление, о котором идет речь; предикат - свойство, приписываемое субъекту или отрицаемое у него; связка - элемент суждения, задающий его качественную характери-стику; квантор - элемент суждения, задающий его количественную характеристику (бывает двух ви-дов).
Общеутвердительное суждение (S a P), общеотрицательное суждение (S e P), частноутвердительное суждение (S i P), частноотрицательное суждение (S o P) - названия и символические выражения всех видов суждений; единичное суждение - особый вид суждения, который имеет логические свойства общих суждений.
Распределенность - полнота знаний о используемых в суждении понятиях; распределенный термин - весь класс предметов, о которых говорит термин, обладает (или не обладает) свойством; нераспреде-ленный термин - часть класса предметов, о которых говорит термин, обладает (или не обладает) свойством.
Логический квадрат - схема, облегчающая запоминание истинностных отношений между суждения-ми; противоположность (контрарность) - отношение между суждениями S a P и S e P; частичная со-вместимость (субконтрарность) - отношение между суждениями S i P и S o P; противоречие (контра-дикторность) - отношение между суждениями 1) S a P и S o P, 2) S e P и S i P; подчинение (суборди-нация) - отношение между суждениями 1)S a P и S i P 2) S e P и S o P.
Модальные суждения - суждения с дополнительными свойствами связки; суждения необходимости (аподиктические) - указывают на необходимые связи понятий (подобные математическим); суждения действительности (ассерторические) - указывают на фактические связи понятий; суждения возмож-ности (проблематические) - указывают на возможные связи понятий; алетическая, аксиологическая, временная, деонтическая модальности - группы модальных суждений.
Умозаключение - рассуждение, приводящее к новым выводам; посылка - исходное суждение в умо-заключениях; заключение - итоговое суждение в умозаключениях; непосредственное умозаключение - самая простая разновидность умозаключения (имеет только одну посылку); опосредствованное умозаключение - умозаключение, исходящее из нескольких посылок; индукция - движение мысли от общих посылок к частным; дедукция - движение мысли от частных посылок к общим.
Превращение - переформулирование мысли, в результате которого она меняет только логическую форму; обращение - образование новой мысли за счет перестановки местами субъекта и предиката; противопоставление предикату и противопоставление субъекту - умозаключения, образующиеся комбинацией превращения и обращения.
Силлогизм - вид очень распространенного умозаключения; меньший (маленький) термин (S) - поня-тие, образующее субъект заключения в силлогизме; больший (большой) термин (P) - понятие, обра-зующее предикат заключения в силлогизме; средний термин (M) - понятие, создающее логическую связь между меньшим и большим терминами; модус - элементарная разновидность силлогизма; фи-гура - класс родственных силлогизмов.
Энтимема - силлогизм, в котором явно высказаны не все его составные части. 
Полисиллогизм - цепочка силлогизмов (бывает двух разновидностей: прогрессивный и регрессив-ный); сорит - полисиллогизм, у которого не все составные части высказаны явно; эпихейрема - слож-ный силлогизм, составленный из двух энтимем.
Условное суждение - высказывание, в котором содержится оборот "если,... то..." или его эквивален-ты; условно-категорическое умозаключение (силлогизм) - умозаключение, в котором одна посылка условное суждение, другая категорическое; утверждающий модус (modus ponens) - название одной из самых элементарных и распространенных в рассуждениях разновидностей условно-категорического силлогизма; отрицающий модус (modus tollens) - название другого чрезвычайно распространенного вида условно-категорического силлогизма. 
Разделительное суждение - высказывание, перечисляющие альтернативы (чаще всего через союз "или", но не только через него); разделительно-категорическое умозаключение (силлогизм) - умозак-лючение, в котором одна посылка - разделительное суждение и одна - категорическое; отрицающе-утверждающий модус (modus tollendo ponens) - название одной из двух разновидностей разделитель-но-категорического умозаключения; утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) - на-звание другой разновидности разделительно-категорического умозаключения; лемматические умо-заключения (силлогизмы) - сложные умозаключения, в которых комбинируются условные и раздели-тельные суждения (подразделяются на сложные и простые, конструктивные и деструктивные).
Индукция - умозаключение, построенное на наблюдении частных случаев (см. начало главы); полная индукция - умозаключение, построенное на исчерпывающем переборе всех предметов данного рода (ее выводы всегда полностью достоверны); неполная индукция - умозаключение, построенное на на-блюдении части всех предметов данного рода (достоверность ее выводов может лишь приближаться к абсолютной).
Научная индукция - индуктивное умозаключение о связи различных явлений между собой; метод сходства - вид научной индукции наиболее близкий к обычной индукции; метод различия - вид на-учной индукции, в которой выводы по методу сходства дополнены наблюдением различий; метод сопутствующих изменений - вид научной индукции, основанный на изучении согласующихся изме-нений; метод остатков - вид научной индукции, построенный на отделении неизвестного от изучен-ного.
Аналогия - вид умозаключения, опирающегося на изучения не данного явления, а похожего на него; модель - метод познания, основанного на аналогии.
Доказательство - логическая процедура получения истинных высказываний.
Тезис - высказывание, подлежащее доказательству (или опровержению); аргументы (основания) - высказывания, с помощью которых доказывается или опровергается тезис; демонстрация (форма до-казательства) - связь между тезисом и аргументами в виде умозаключения или рассуждения; опро-вержение - доказательство, направленное на отвод или уточнение утверждений, считавшихся ранее доказанными.
Прямое доказательство - наиболее обычное доказательство, в котором прямо фигурирует доказывае-мый тезис; косвенное доказательство - обходной путь в доказательных рассуждениях, когда вместо тезиса берется логически связанное с ним утверждение; доказательство от противного (апагогиче-ское) - разновидность косвенного доказательства, в котором опровергается противоречащее тезису утверждение; разделительное доказательство - разновидность косвенного доказательства, в котором последовательно отбрасываются альтернативные тезису утверждения.
Основное заблуждение - ошибка, вызванная тем, что в рассуждении используется ложный аргумент; круг в доказательстве - ошибка, вызванная тем, что аргументы, подкрепляющие тезис, сами обосно-вываются через этот тезис; предвосхищение основания - ошибка, вызванная тем, что в аргументы заранее закладывается то, что надо доказать; чрезмерное доказательство - употребление в доказа-тельстве излишних аргументов, от чего доказательство только запутывается.
Мнимое следование - общее название ошибок, возникающих из-за нарушений в форме доказательст-ва (имеет очень много разновидностей); "после этого не значит вследствие этого" - выражение, кото-рым обозначают встречающуюся иногда ошибку при установлении причинных связей; "от сказанно-го с условием к сказанному безусловно" - выражение, которым обозначают ошибку, возникающую из-за игнорирования конкретных условий для той или иной истины; "от сказанного в собирательном смысле к сказанному в разделительном смысле" - выражение, которым обозначают ошибку, возни-кающую из-за игнорирования разницы между собирательными и разделительными понятиями; заме-на доказательства другими средствами протащить нужное утверждение - недопустимый в доказа-тельствах прием, имеющий очень много разновидностей.
Критика тезиса, критика аргументов, критика демонстрации - три вида, на которые подразделяются все способы опровержения; опровержение фактами, сведением к абсурду, доказательством антитези-са - три основные разновидности опровержения тезиса; "дамский аргумент" - выражение, которым обозначают непозволительный прием опровержения, когда мысль оппонента преувеличивается до карикатуры.
Пропозициональная переменная - символ (обычно латинская буква), заменяющий любое высказыва-ние; логический союз - название широко распространенных в любом языке оборотов речи, с помо-щью которых связываются два и более повествовательных предложения (имеют символические обо-значения); отрицание - простейший логический союз, выражаемый словами "неверно, что...", кото-рый не связывает, а только преобразует высказывание; конъюнкция - логический союз, выражаемый грамматическим союзом "и" а также многими другими эквивалентными ему выражениями (обозна-чается символом - /\); дизъюнкция - логический союз, выражаемый грамматическим союзом "или" а также другими эквивалентными ему выражениями (обозначается символом - \/); импликация - логи-ческий союз, выражаемый словами "если..., то..." а также многими другими эквивалентными ему оборотами (обозначается символом - =>); эквивалентность - логический союз, выражающий отноше-ния равнозначности, обоюдной зависимости (обозначается символом - у).


КОНЕЦ