ь,- ошибка
- это даже хорошо: не убежим далеко  от тех, кто поотстал. Вся наша работа -
неизбежные ошибки. Если бы вы не ошибались, то зачем тогда вам учитель?
     "Значит,-  спросит озадаченный  читатель,-  к доске  всегда  вызывается
самый неуверенный в себе ученик? Тот, который последним поднял руку?"
     Нет, не всегда. Но в большинстве случаев.
     "Но  не  будет  ли это  действовать  угнетающе на  лучших  учеников? Не
потеряют ли они интерес к работе?"
     Вопрос  резонный.  Если бы  учитель  ограничивался только  тем, что  на
протяжении многих уроков называл лишь фамилии учеников, первыми  поднимающих
руки,  то спад  их  интереса к делу произошел непременно. И даже более того:
почувствовав  бесконтрольность, они вполне могут начать поднимать руки  даже
тогда, когда не  совсем  уверены  в правильности  предполагаемого  ими  хода
решения,  а это уже недопустимый воспитательный сбой.  Как должен вести себя
ученик,  выяснивший,  что  верного  решения   он  найти  не  смог?  К  каким
нравственным  издержкам  это  приведет?  А  если  решение  было  верным,  но
оригинальным  и непохожим на то, которое прозвучало  в классе? Здесь впору и
обидеться, и замкнуться, и надолго замолчать...
     И вот на одном из уроков, когда несколько первых учеников подняли руки,
учитель снова называет их фамилии и говорит:
     - Во время больших  сражений главнокомандующий всегда держит  в резерве
несколько  своих лучших воинских соединений.  Они  не вступают в бой, но уже
одно только их присутствие наполняет  сердца воинов уверенностью в победе. В
этих  условиях никогда не  будет паники: резервные войска есть, значит, пока
еще можно  обойтись  и без  них. Значит,  выстоим.  Так было в сражении  под
Бородином в 1812  году. Так было  в великой битве под  Москвой  в 1941 году.
Ставка   всегда   должна   располагать   резервом   главного   командования.
Уничтоженный резерв-это катастрофа. Так вот, Бустеряков, Брага,  Волченский,
Серых,  Моисеева,   Якуш,  Талалаев,  вы  сейчас  выполняете   роль  резерва
главнокомандующего, и к вам  мы обратимся  только  тогда, когда  уже  никто,
кроме  вас,  не поможет нам выиграть бой с  этой задачей. И  на  линию  огня
сейчас пойдет Игорь Каширин.
     У Игорька, так же как и у Лены Исаевой, годовой оценкой по математике в
III классе была тройка.  Но то было в III классе, а  уже в V и  Лена и Игорь
стали лучшими учениками класса, и в их экранах  успеваемости  по  математике
стояли одни только пятерки.  И никто из многочисленных посетителей уроков  в
экспериментальном  классе  даже представить себе не мог, какими беспомощными
были эти ребята всего только год назад. Гости представить не могли,  но дети
в  классе  отлично понимают и знают,  кто сейчас у  доски, кто решает  такие
задачи, и уже на следующем уроке поднимаются новые руки, затаенной  надеждой
на  немыслимый еще  вчера успех загораются новые глаза. О "резерве  главного
командования"  на  одном из  родительских  собраний  непременно  ставятся  в
известность родители  - пусть не возмущаются  сообщением сына  или дочери  о
том, что их "сегодня не вызывали, хотя руку  они поднимали". Пусть понимают,
что их ребенок поднялся на новую высоту. В этом скрыт  еще  один побуждающий
мотив содружества семьи и школы.
     "Резерв" - "резервом", а долгое  молчание ребят, входящих в него, никак
не может благотворно влиять на их отношение ко всему происходящему на уроке.
Гипертрофия в использовании этого методического приема неизбежно повлечет за
собой  спад  активности  лучших ребят,  а  это  чревато  самыми  неприятными
последствиями. В экспериментальных  классах подобного не происходило никогда
- лучшие учащиеся всегда оставались самыми активными. Причин тому много,  но
одна из  них в том,  что,  когда класс думает над  решением задачи, им,  уже
поднявшим руки,  предлагается  приступить к черновым  расчетам,  составлению
итоговых  уравнений  и  даже к  записи решения в тетрадь  набело,  если  все
расчеты окажутся  верными и будет получен правильный  ответ. Это даст  им  в
конце  урока несколько  свободных минут, и, как  уже было  сказано,  они или
раньше других  уйдут  домой,  если идет  последний  урок,  или  приступят  к
выполнению домашних заданий. Проверку правильности решений проводит учитель,
если задача сложная и решивших ее  ранее других не  столь уж много, или  это
делается в форме парного  контроля, или десантом, или цепочкой - было бы что
проверять
     Но  как же  быть, если  в систему взаимопроверки  просочится ошибка и у
одного из  ребят  или одновременно у двоих в паре окажутся неверными ответы?
Такое тоже  не исключено - часто проверяются не  только готовые записи, но и
черновые наброски. Не беда! За время, пока лучшие оформляют свои  решения, к
доске обычно уже  выходит ученик  и  начинает работать  перед  всем классом.
Тетради же, которыми обменялись ребята при парном контроле, остаются  у тех,
кто их проверял, и окончательное решение о правильности выполненных операций
выносится  только  тогда,  когда четко  прорисовывается весь  ход решения на
доске.

 Это могут все

     10  октября 1986  г. V эксперимен-тальный класс.  Тема  урока  "Решение
упражнений".  K началу  урока во время перемены подготовлена классная доска,
на которой учителем сделаны следующие записи и числовые пометки (см. рис.).

     Читатель, видимо, уже догадался, что это краткие условия задач, которые
ребятам предстоит решить на уроке.
     Ежедневно  работая с  такими буквенно-числовыми  сокращениями,  ученики
исподволь овладевают  основными  умственными  операциями анализа  и синтеза,
приучаются выделять действенные данные задач, устанавливать между ними связи
и представлять условия задач в наглядной и лаконичной  графической форме. Не
по  шаблонам, не  по обязанности, а в  высшей степени естественно,  так, как
этого  требует  собственное  видение  условия.   С  течением  времени  такая
обработка  условия   становится   привычной,  и  ребята  пользуются  ею  при
самостоятельном  решении  задач,  хотя  к  этому  их  не  понуждают  никакие
требования или обязательные установки.  Краткие условия  обычно записываются
на   черновиках  и  не  переносятся  в  тетради   или   чистовые  экземпляры
самостоятельных  работ.  Краткая  запись  нужна  ученику  всего  только  как
строительные леса при возведении  объекта. С  завершением строительства леса
убираются. Условие первой задачи учитель прочитывает дважды.  Первый раз - в
обычном разговорном темпе. Второй раз - медленно, акцентирование.
     - В одной школе  840 учащихся. Во второй на 1/7  этого числа
больше, в третьей 5/6 числа учащихся второй школы,  а в четвертой
3/10 числа  учащихся первых трех школ вместе. Сколько учащихся во
всех четырех школах вместе?
     Короткая пауза.
     - Писать ничего не нужно. Расчеты произвести устно и записать в тетради
окончательный ответ.
     Для  20  учителей,  присутствовавших  на  этом уроке, установка  решить
задачу устно прозвучала сенсационно, для ребят - привычно, буднично. Сколько
логических переходов и сопутствующих им вычислений должны произвести  ребята
устно, не делая никаких записей?
     1/7 от 840. На 120 учащихся больше во второй школе,  чем
в первой.
     840+120=960 учащихся во второй школе.
     5/6 от 960. 800 учащихся в третьей школе.
     840+960+800=2600 учащихся в трех школах вместе.
     3/10 от 2600. 780 учащихся в четвертой школе.
     2600+780=3380 учащихся в четырех школах.

     Итого пять логических переходов и 7 арифметических действий. Это вполне
доступно   абсолютному   большинству  учащихся,  но  при  двух  обязательных
условиях.
     1. Учитель сам  должен решать  такие задачи-примеры только устно, давая
тем  самым  ученикам  образец  выполнения  операций,  вселяя  уверенность  в
посильности подобного способа решения, побуждая к напряжению мысли.
     2.  Учитель  не должен  сомневаться  в  возможностях  ребят,  ибо  даже
малейшее  проявление  скептицизма мгновенно передастся детям  и демобилизует
их.
     Лучшим учащимся класса для решения этой задачи требуется не более одной
минуты,  а к концу учебного  года  умение производить  устные расчеты такого
объема приобретают почти все ученики. Описываемый урок  проводился через  40
дней  после начала учебного  года, и до этого были  решены только 2 задачи с
устными  расчетами,  так  как  на  первом  плане   начала  учебного  года  -
массированное  повторение:  необходимо восстановить навыки  расчетов и  весь
учебный материал IV класса, подзабытый за 3 месяца летних каникул.
     К исходу второй минуты в классе 5 рук.
     - Колос, Бустеряков, Якуш, Зуенко, Каширин - к доске.
     Пять человек решили задачу, и  все пятеро должны доказать  правильность
своих действий, окончательный  результат  которых учитель уже проверил по их
ответам в тетрадях.  Слов нет,  записанное в тетради число 3380 само по себе
уже говорит о правильно решенной задаче, но  доказанное учителю должно  быть
доказано и всем. Вызвать одного, как это обычно практикуется, значит обидеть
четырех остальных: они-то  тоже решили  задачу. Зачем же давать пищу чувству
обиды и неудовлетворенности? И поэтому все пятеро идут к  доске  и выполняют
последовательно один за другим все 20  операций - вопросы, действия к ним, а
сверх того называют ответы каждого промежуточного действия. По 4 операции на
каждого. Этого  вполне достаточно, чтобы судить  о степени понимания решения
задачи  каждым из тех, кто поднял руку.  В результате никто не  обижен. Всем
можно   поставить   отличные  оценки.  И   никакого  обезличивания,   каждый
оценивается индивидуально.  Вот только с выставлением  оценки  торопиться не
следует. Коварно-реактивное  это  оружие -  оценка.  Списывания,  подсказки,
заискивания, обман,  лицемерие, угодничество,  трусость, чванство  - все эти
негативные явления возникают там, где оценка становится  побуждающим мотивом
и целью учения.
     Вторая  задача  из "Сборника  задач московских математических олимпиад"
(М., 1967): "Сумма двух  чисел 640. Если  большее из этих чисел разделить на
меньшее, то в частном получится 3, а в остатке 60. Найти эти числа".
     Следует  оговориться,  что  в  1967  г.  пятиклассники,  которым  автор
сборника  Г.  И.  Зубелевич  рекомендовала  эту задачу, еще не  пользовались
приемом составления уравнений, и потому процесс решения в  1989 г. несколько
отличается от  того, как  это должны  были делать  ребята 22 года  назад, но
существо дела остается  практически тем же. Задача  общедоступна  и выглядит
даже несколько наивно в сравнении с задачами такого же типа из сборника 1897
г. Судите сами.
     No 283. "Сумма трех чисел  равна 70. Второе число при делении на первое
дает в  частном 2 и остатке 1,  третье число при делении на  второе  дает  в
частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа".
     No 284. "Найти число, которое при делении на 5 дает в остатке  2, а при
делении  на 8 дает  в остатке  5,  знак при  этом, что первое  частное тремя
больше второго".
     И эти  задачи  не для  участников московских математических олимпиад, а
для рядовых гимназистов IV класса. Информация к размышлению.
     В V экспериментальном ребята составляют уравнение, а составив, сразу же
поднимают руки.
     Вот подняты две первые руки.
     -  Обменяйтесь,  пожалуйста, тетрадями  и подержите  их  у  себя,  пока
закончат работу другие.
     Не прошло и минуты,  как тетрадями  обменялись  десять пар  учеников, а
21-й был вызван к доске и начал последовательный рассказ о процессе решения,
сопровождая его краткими  записями. Все  остальные  учащиеся делают такие же
записи в  тетрадях,  ноне в своих,  а в  чужих.  А  почему,  собственно,  не
позволить один раз в месяц сделать записи в чужих тетрадях? С одной стороны,
вряд  ли кто станет писать  в чужой  тетради вкривь и вкось,  а  с другой  -
хозяевам  тетрадей  будет  с  чем  сравнивать  собственные   записи,   чтобы
постараться в дальнейшем оформлять свои работы не хуже "соавтора". Возможно,
в этом приеме можно найти и какие-нибудь теневые стороны, да только стоит ли
это делать, если ребята с очевидным удовольствием включаются в эту игру? А у
игры свои законы, с которыми спорить почти невозможно. И нужно ли?
     Работа над второй задачей заканчивается сравнением результатов, которые
назвали ребята  до начала фронтального  решения,  с  окончательным  ответом.
Случаи  расхождения  здесь,  отметим  попутно,  чрезвычайно  редки.  Ученики
относятся к  этому виду работы  с большой ответственностью и  осторожностью:
кому хочется вручить товарищу документальное свидетельство несостоятельности
своего пути решения?
     Для  учителя, и это понятно, важны не только общие подходы к выполнению
практических работ,  но и методические "частности",  связанные с постановкой
вопросов, с переключением внимания одного ученика к другому, с рассмотрением
различных вариантов, возникающих в ходе решения...  Но все эти моменты носят
индивидуальный  характер,  и  в каждом  отдельном случае  учитель  действует
по-своему.    Какие-либо   универсальные    советы    здесь,    по-видимому,
нецелесообразны.
     Вторая  задача  решена.  Тетради возвращены их хозяевам. Условия первых
двух задач стерты  с доски, и она стала  просторнее и чище. Это мощный,  как
уже было отмечено ранее, психологический фактор.  Класс видит поступательное
движение  урока! Но  энтузиазм тоже  нужно подпитывать. С этой  целью  перед
началом решения третьей задачи учитель, как бы между прочим, говорит:
     - А теперь совершенно новая задача. Незамысловатее  первой.  В первой -
что там было  особенного?.. В одной школе 840, во второй  на 1/7,
больше,  в  третьей 5/6  второй,  а  в  четвертой 3/10
первых трех. Прямой  ход решения.  Нашли  1/7  от 840, прибавили,
нашли 5/6 от 960, сложили все три  и  нашли 8/10 этого
количества. Пустяк!
     И все это спокойно, чуть насмешливо, на одном дыхании, без запинки!
     "А и  верно,-  думают при  этом  те, кто не смог решить  самостоятельно
первую задачу.- Легкота. Как же это я оплошал?"
     Краткий   пересказ  решения  первой   задачи  преследует  многие  цели:
повторить  процесс решения  для тех  ребят,  которые  еще  отстают от  своих
товарищей (нужны-то для этого считанные секунды!), сориентировать на быстрое
мышление,  мобилизовать  внимание  на   основных  действиях,  но  главное  -
подготовить  ребят   к   решению   третьей  задачи:  "Плавательный   бассейн
наполняется  двумя трубами за  48 мин,  если открыть  сразу две трубы. Через
одну  трубу  бассейн может  наполниться за  2 ч. Найти объем бассейна,  если
известно, что за 1 минуту через вторую трубу поступает на 50 куб. м  больше,
чем  через первую"  (Сборник  задач  московских математических олимпиад. М.,
1967).
     Третья  задача  -  задача-разрядка.  Здесь  искушенный  читатель  может
возразить:  "Задача на совместную работу с переходом на разность и отношение
величин  не может  выполнить эту функцию  из-за  своей сложности".  И тем не
менее  это  так. Все  дело в  том, что принцип решения  таких  задач надежно
усваивается ребятами  и  они любят и умеют  распутывать  самые  замысловатые
условия. Появление таких задач на уроке вызывает радостное оживление, ибо их
готов решать любой ученик. Вот почему это разрядка. В абсолютном большинстве
случаев решение задач на  совместную, работу  не записывается в  тетради,  а
только проговаривается устно. Как это будет  происходить  (решает ли у доски
один ученик или  сразу несколько,  работает ли  одновременно  весь класс или
ведется диалог между  двумя учениками), зависит  от уровня подготовки ребят,
новизны и сложности условия задачи, громоздкости расчетов и прочих условий.
     Венчает урок конечно же четвертая задача (М. И. Сканави, No 13 048):
     "Длина Дуная относится к длине Днепра, как 63/1 : 5, а длина
Дона относится  к длине Дуная, как  61/2 : 91/2. Найти
протяженность каждой из трех рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км".
     Учителя математики  хорошо знают, что  таких  задач  нет ни в  одном из
учебников IV-VI классов,  хотя еще  совсем недавно они занимали значительное
место во всех без исключения сборниках. Любопытен и такой факт. В Таганроге,
в школе, где учился А. П. Чехов, хранится его ученическая тетрадь  с записью
решения подобной задачи. Стало быть, работа над  материалом  такой сложности
нисколько не  помешала Антону Павловичу стать великим  русским  писателем и,
как знать,  возможно, даже  помогла  ему развить логику мышления, внимание к
деталям,  трудолюбие  и  несгибаемую  целеустремленность.  Опровергнуть  эту
версию сможет  только появление нового Чехова из числа тех, кому не довелось
решать задачи приведенного  типа,  равно  как  и другие сложные задачи,  все
решительнее  изымаемые из  школьных  учебников. Во всяком  случае,  снижение
уровня сложности задачного материала в курсе математики  средней школы никак
не способствует развитию не только  логического, но и всякого иного мышления
школьников. И это при  том,  что  решение  комбинированных  задач,  образцом
которых   может  служить  задача  No  13  048,  вполне  доступно  всем,  без
какого-либо исключения,  учащимся  пятых классов,  правда  к концу  учебного
года.  В  первой четверти для решения аналогичной  задачи к доске вызывается
один ученик (обычно - по желанию), и ему предоставляется безраздельное право
во  всех  подробностях  выполнить операции решения  и записать их  вплоть до
получения окончательного ответа.
     Некоторые советы.
     При  решении нацеленных на  большую  перспективу  задач в классе  никто
ничего не пишет.
     Решение  закончено,  все записи  с  доски  стерты, и класс приступает к
воспроизведению  решения  в  тетрадях,  пользуясь  только  кратким  условием
задачи, последним из четырех сохранившихся на доске.
     Проверка правильности решения каждым  отдельным учеником осуществляется
методом цепочки.
     Заключительная часть урока посвящается краткой консультации, поясняющей
решения задач No 223 и 247 (Алгебра-6, 1987). В первой из них ребята впервые
встречаются  с геометрическим термином "смежные углы",  а во второй допущена
опечатка: вместо "-2" стоит цифра 2.
     На  описываемом уроке  эти задачи были резервными,  и на них просто  не
хватило  времени,  так  как  этап  решения  первой  задачи   оказался  более
продолжительным, чем предполагалось. Включение их в  план урока определялось
простым соображением: решать их предстояло устно, а для этого нужно  было не
более 5 минут.
     Обязательное   условие:  резервные   задачи,  не  решенные  на   уроке,
включаются в план очередного урока первыми.
     Попутное   замечание.  При  работе  в  новых  методических  условиях  в
поурочные планы никогда  не вписывается устный счет. И вовсе  не потому, что
ему не придается должного значения, а потому, что он пронизывает весь урок -
от первой  до  последней минуты.  Практически  все  математические  выкладки
ребята  выполняют только устно и  оперируют  полученными результатами,  лишь
изредка помечая  на доске промежуточные числовые переходы. Цепкость памяти и
внимательное   отношение  ко  всем  расчетным  операциям  составляют  основу
математической культуры  учеников,  и это  первое,  что  поражает  учителей,
присутствующих  на  уроках в экспериментальных  классах. Правда,  опять-таки
большая часть из них видит только конечный результат и не имеет ни малейшего
представления о черновой работе, приводящей к нему. Думается, только  этим и
можно  объяснить  недоумение,  возникшее у  некоторых после серии  уроков  в
экспериментальных классах,  показанных по Центральному телевидению в 1988 г.
Семь  последовательно  выполняемых  учениками  математических  операций  без
единой записи на  доске вызвали у зрителей учителей смятение, и один  из них
даже  выступил  в  печати  с  заявлением,  что  такой  устный счет  является
математическим  перегибом   в   развитии   детей.  Вопиющие   "недогибы"   и
элементарная м