ы в четыре раза меньше освещена. На утроенном расстоянии она была бы нагрета в девять раз меньше; на расстоянии, в четыре раза большем,- в шестнадцать раз меньше и т. д. Следовательно, действие теплоты также обратно пропорционально квадрату расстояния.
Но сила притяжения, так же как и свет и теплота, действует от центра к окружности. Значит, она будет также действовать обратно пропорционально квадрату расстояний, раз она увеличивается и уменьшается в той же пропорции, что и свет и теплота. Именно так она возрастает и убывает; это доказывается наблюдением. Но оттого что Вы еще не в состоянии понять, каким образом стало возможным наблюдать это явление, Вам пока будет достаточно довериться авторитету наблюдателей и вместе с ними считать это принципом, способным объяснить и другие явления.
Сила тяготения, вес, тяжесть, гравитация - все это следствия одной причины, которую мы называем притяжением.
Все эти слова, в сущности, означают одно и то же и различаются лишь по дополнительным данным, которые я Вам уже объяснил *.
* В словаре французских синонимов.

88
89
 

Явления, которые мы обозначаем этими словами, следовательно, подвержены законам притяжения, т. е. сила тяготения в небесных телах, их вес, тяжесть или тяготение, обратно пропорциональна квадрату расстояний. Я говорю "небесные тела", потому что нам представится случай заметить, что гравитация частиц материи подчиняется другим законам.
Вес тела на любом расстоянии от Земли относится к его весу
на поверхности
Земли как единица
к квадрату этого
расстояния
Из того, что сила притяжения действует обратно пропорционально квадрату расстояния, следует, что три тела, которые будут иметь вес в один ливр (одно - в двух радиусах от центра Земли, другое - в трех и третье - в четырех радиусах), будут весить в одном радиусе: первое - 4 ливра, второе - 9 и третье - 16. Потому что все эти теоремы, в сущности, говорят одно и то же, а различаются лишь по способу выражения.
Скорость, с которой падает тело,
обратно
пропорциональна
квадрату его
расстояния
Следовательно, и это еще одна теорема, тождественная с предыдущими, вес тела на любом расстоянии так относится к весу, который оно имело бы на поверхности Земли, как единица к квадрату этого расстояния. Если же я хочу узнать, сколько бы весило на поверхности Земли тело, которое на расстоянии 60 радиусов весило бы один ливр, мне нужно всего лишь умножить 60 на 60, и я получу квадрат этого числа - 3600; если же, наоборот, на поверхности Земли оно весило бы один ливр, то на расстоянии в 60 радиусов оно весило бы всего лишь 3600-ю часть ливра. Итак, сила тяготения - это сила, которая определяет скорость, с которой падает тело. Следовательно, зная скорость падения тела на поверхности Земли, я узнаю его скорость на любом другом расстоянии, например на расстоянии 60 радиусов. Мне понадобится лишь следующее рассуждение. Тело вблизи поверхности Земли опускается за одну секунду на один фут, следовательно, в 60 радиусах оно подвергнется действию силы, в 3600 раз меньшей; стало быть, оно опустится лишь на 3600-ю часть фута. А если я захочу узнать, в какое время оно должно пройти на этом расстоянии 3600 частей, или целый фут, мне нужно только вспомнить, что пройденные участки пространства представляют собой квадраты соответствующих промежутков времени. Таким образом, если пройденное про-

странство содержит 3600 частей, то время будет равно 60 секундам, квадратному корню из 3600.
Даже из этих расчетов тождественность достаточно видна; будем продолжать идти от тождественных теорем к тождественным и посмотрим, куда мы придем.
Какова
центростремительная сила Луны
Какова
ее центробежная сила
Луна находится на расстоянии 60 радиусов от Земли; значит, она опустилась бы на один фут в минуту и на 3600 - в 60 минут, или за один час, если бы она была предоставлена своему весу, т. е. если бы она приводилась в движение одной толькой силой, которая влечет ее к Земле; при данном предположении было бы достаточно произвести вычисления согласно законам ускорения движения, чтобы определить время ее падения. Но если за один час ее вес, или ее центростремительная сила, должен принудить ее опуститься на 3600 футов, то очевидно, что она опишет орбиту на расстоянии 60 радиусов лишь при условии, что на нее будет действовать центробежная сила, способная отклонить ос на 3600 футов за один час.
Итак, мы знаем, какова центробежная сила Луны и какова ее центростремительная сила. Кроме того, мы знаем, что она заканчивает свой полный оборот за 270 дней и 7 часов. Зная это, мы можем определить ее орбиту.
Как можно узнать ее орбиту
Если мы предположим, что АВ (рис. 36) - путь, который она прошла бы за один день, будучи предоставлена своему собственному весу, то мы имеем одну из сторон параллелограмма, диагональ которого она должна описать.

Но поскольку АВ представляет центростремительную силу, [отрезок] АС, перпендикулярный к АВ, представляет силу, побуждающую ее двигаться по касательной к орбите, и [отрезок] CD, параллельный и равный АВ, заканчивает параллелограмм и представляет центро-

90
91
 

бежную силу. Таким образом, очевидно, что AD - это кривая, которую Луна опишет за день под действием двух сил. В результате мы получим приблизительную орбиту этой планеты, если, для упрощения пренебрегая часами, начертим такую окружность, что AD будет одной двадцать седьмой ее частью.
Как наблюдения
подтверждают
соответствующие
расчеты
Вы видите теперь, как наблюдения за силой тяготения позволяют определить центральные силы Луны и кривую, которую она описывает вокруг Земли. Но для того чтобы уверить Вас в том, что эти расчеты верны, надо подтвердить их наблюдениями; и если обнаружатся отклонения от рассчитанной нами кривой движения Луны, надо, чтобы наблюдения выявили причину таких отклонений, которая не противоречила бы расчетам; именно так и получилось у нас.
Почему трудно объяснить кажущиеся
неправильности в движении Луны
Все эти расчеты подтверждались бы наблюдениями, если бы Луна тяготела лишь к одной Земле и описывала окружность, центром которой была бы Земля. Но, во-первых, Луна, кроме того, тяготеет и к Солнцу; во-вторых, она описывает не окружность, а эллипс, и, наконец, Земля находится не в центре эллипса, а в одном из фокусов.
Все эти соображения настолько затрудняют расчеты, что еще не удалось с точностью объяснить все кажущиеся неправильности движения Луны.
Действие солнечного притяжения на Луну
Если Луна (рис. 37)  находится в А, а Земля - в Т, Солнце S одинаково притягивает  их,  так  как оно  находится на равном расстоянии от той и от другой.
В таком случае ничто не изменит силы тяготения Луны к Земле. Но если Луна находится в В, она будет больше притягиваться Солнцем, так как она ближе к нему, и вследствие этого она будет меньше тяготеть к Земле. В С сила тяготения к Земле будет та же, что и в А. И наконец, в D Земля, сильнее притягиваясь к Солнцу, удалится от Луны, которая в силу этого меньше будет тяготеть к Земле. Таким образом, во всех точках орбиты, за исключением А и С, Солнце более или менее стремится отдалить друг от друга эти две планеты. Добавим, что это действие Солнца изменяется еще и по мере того, как Земля и Луна, которую она увлекает в своем обращении, приближаются к Солнцу или удаляются от него. Здесь Вы начинаете понимать, что дви-

 


жение Луны должно быть то ускоренным, то замедленным и что описываемая ею орбита не может быть абсолютно правильной.
Бесполезно вдаваться в дальнейшие подробности по этому вопросу. Я ограничиваюсь тем, что даю Вам общую картину, общие планы, с помощью которых Вы сможете глубже вникнуть в данный предмет, если Вас побудит к этому любознательность и если занятия, более соответствующие Вашему положению, оставят Вам какой-то досуг для этого.
ГЛАВА IV ЭЛЛИПСЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ПЛАНЕТАМИ
Эллипсы объясняются рядом теорем,
тождественных с тем,
что уже было
доказано
Луна вокруг Земли,  планеты и  кометы  вокруг  Солнца описывают эллипсы.   Тот,  который  я  Вам  сейчас приведу в качестве примера, является наиболее   эксцентрическим   из   всех планетных эллипсов, и все же он менее эксцентрический, нежели кометные эллипсы; но его рассмотрения достаточно, для того чтобы объяснить и те и другие, потому что законы для них одинаковы.

92
93
 

ГЛАВА V ПЛОЩАДИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ВРЕМЕНИ
Часть эллипса,
описываемая
при ускоренном
движении
Часть эллипса,
где движение
замедляется
Увеличение и уменьшение углов -
не единственная
причина, ускоряющая
и замедляющая
движение
Я хочу, чтобы Вы сначала отметили, что вес, что мы будем   говорить   для   объяснения   этих   эллипсов,   сводится, в сущности, к тому, что уже говорилось и доказывалось, когда мы объясняли кривую, называемую параболой, именно что небесные тела описывают эллипсы только потому, что, подчиняясь двум силам, всегда направленным под углом друг к другу, они движутся от одной диагонали к другой. Тело (рис. 38), брошенное в направлении АЙ, притягивается Солнцем в направлении  AS,  т.  е.  под  прямым углом, следовательно, оно будет двигаться ускоренно из А в В. Когда оно придет в эту точку, сила проекции понудит его двигаться по линии ВЬ, но оно притягивается под острым углом в направлении BS; следовательно, его движение еще будет ускоренным, и оно будет двигаться из В в С. Таким образом, направление силы, действующей вдоль касательных, всегда составляет острый угол с направлением силы тяготения, и две сложные силы ускорят   движение   планеты,   пока   она   не   придет   в   Р. Когда планета приходит в Р, направление силы, действующей вдоль касательной   Р,  составляет  прямой  угол с PS, направлением силы тяготения; планета будет двигаться в F.  Но поскольку она прошла путь из D в Р, двигаясь ускоренно, то из Р в F она движется замедленно. ВF направление силы, действующей по касательной F/, составит тупой угол с FS, направлением силы тяготения, следовательно, движение будет еще замедленным, и оно будет замедленным до тех пор, пока планета не придет в А, потому что углы все время будут тупыми. Но следует заметить, что увеличение и уменьшение углов - не единственная причина, которая ускоряет и замедляет  движение.   Ведь  из  А  в   Р углы уменьшаются лишь до половины пути, точно так же как и возрастают
они до половины пути из Р в А. Следовательно, ускорение и замедление имеют еще и другую причину. И действительно, планета ускоряет свое движение по пути из А в Р, так как все больше приближается к Солнцу, которое притягивает ее обратно пропорционально квадрату расстояния, а замедляет она свое движение, возвращаясь из Р в А, поскольку, по мере того как она все больше удаляется от Солнца, она все меньше им притягивается.

 
Что подразумевается под радиусом,
вектором и
под описываемыми
ими площадями
Площадь треугольника - это пространство, ограниченное тремя его сторонами (рис. 38). Таковы отрезки AS, BS и т. д. Когда планета движется из А через В, С и т. д., радиус SA представляется как прямая, которая, поднимаясь над центром S, уносит планету на другой конец и которая, перемещаясь вместе с планетой, так сказать, заметает соответствующую площадь, по мере того как планета описывает сторону, противоположную центру S. Этот радиус называется "радиус-вектор", т. с. "несущий". Вот что подразумевают, когда говорят, что планета описывает площади вокруг центра своего движения. Площади пропорциональны промежуткам времени.
Ныне все астрономы знают, что площади, описываемые планетой, пропорциональны времени, т. е. в равные промежутки времени планеты описывают равные площади. Кеплер первый открыл это явление и первый выдвинул догадку, что причина его - притяжение Солнца. Ньютон доказал истинность этого открытия и этого предположения.
Эта истина становится наглядной, когда планета движется по круговой орбите. Когда планета движется кругообразно вокруг центра, она описывает одинаковые дуги окружности в одинаковые промежутки времени. В данном случае площади, которые описывает радиус-вектор, не только равны, но также и подобны, и это подобие делает наглядным их равенство. Вот что должно происходить всякий раз, когда планета движется по круговой орбите, ибо поскольку ее движение ни замедленно, ни ускоренно, то, очевидно, радиус-вектор в одинаковые промежутки времени проходит равные и подобные площади.
Именно так, по-видимому, движутся вокруг Юпитера его спутники. По правде сказать, сообразно их положениям они должны более или менее отклоняться, так как они не всегда находятся на одном и том же расстоянии от Солнца и на одинаковом расстоянии друг от друга. Но мы можем пренебречь этими неправильностями, так как они не столь значительны, чтобы их можно было наблюдать в телескоп.

94
95
 

Доказательство
данной истины,
когда планета
движется
по эллипсу
Когда планета совершает движение по эллипсу, а центр движения находится в одном из фокусов, то радиус-вектор описывает равные площади. Это равенство вначале не столь ощутимо, потому что площади не все подобны и Вы найдете подобие лишь среди тех, которые соответствуют одна другой на одинаковом расстоянии от перигелия и от афелия. Но хотя площади (рис. 39) не все подобны, они все равны: те, у которых наименьшая длина, выигрывают в ширине то, что они проигрывают в длине. Вы сможете наглядно увидеть это на рисунке; однако необходимо привести доказательство этого.

Вы знаете, что площадь треугольника, или пространство, заключенное между тремя сторонами, есть половина произведения высоты на основание, а потому Вы полагаете, что, когда треугольники имеют одно и то же основание и одинаковую высоту, площади равны. Теперь предположим, что тело (рис. 39), двигаясь равномерно, проходит в равные промежутки
времени равные отрезки АВ, ВС; очевидно, что площади ASB, BSC, описываемые радиусом-вектором, равны, так как оба этих треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание: одинаковое основание - так как ВС равно АВ и одинаковую высоту - так как высота и того и другого - это перпендикуляр, опущенный из вершины S на прямую AD.
Следовательно, пока это тело будет продолжать двигаться по той же прямой и пока треугольники будут иметь общую вершину в той же точке, площади останутся равными и будут различаться лишь потому, что они будут выигрывать в длине то, что потеряют в ширине.
Однако, когда это тело вместо прямой линии будет описывать кривую линию вокруг точки S, где мы установили вершину треугольников, данное направление не изменит размера площадей, а изменит лишь их конфигурацию, так что они выиграют в ширину то, что они потеряют в длину. Для доказательства сообщим этому телу, пришедшему в С, силу, способную, при условии что на тело не будут действовать другие силы, перенести его в Е за то же время, за какое

оно пршло бы, двигаясь равномерно, из С в D. Из вышесказанного явствует, что данное тело, подчиняясь этим двум силам, пройдет диагональ CF параллелограмма CDFE за то же время, за какое оно прошло бы СЕ или CD. Стало быть, радиус-вектор опишет площадь SCF, но эта площадь равна SCD, так как два треугольника имеют общее основание в CS и, находясь между двумя параллелями СЕ и DF, имеют также общую высоту в перпендикуляре, опущенном с одной из этих прямых на другую. Вам понятно, что то же самое рассуждение доказывает равенство следующих площадей.
Площади
пропорциональны
периодам времени
лишь при допущении,
что планета
постоянно направлена
к одному и тому же
центру
Но если бы планеты не всегда направлялись в точку S, а периодически устремлялись бы в какую-либо смежную точку, то плоскости непременно были бы неравны; потому что тело, вместо того чтобы попасть на прямую DF, в тот же период времени либо пройдет поверх этой прямой, либо не достигнет ее, и, следовательно, описанные площади будут либо большими, либо меньшими, чем SCD.
Итак, доказано, что, когда тело двигается по кривой, постоянное направление к той же точке доказывает пропорциональность площадей периодам времени; отсюда Вы должны заключить обратное данному положению, а именно что пропорциональность площадей периодам времени доказывает, что тело постоянно направлено к одной и той же точке.
Следствия,
вытекающие
из данной истины
Это одна из наиболее значительных истин в системе Ньютона, она является непреложным законом, от которого природа никогда не отклоняется. Достаточно вместе с Кеплером наблюдать спутники Юпитера и вместе с ним заметить соразмерность описываемых площадей периодам времени, чтобы убедиться, что его спутники всегда направлены к центру основной планеты. Точно так же Луна в течение всего периода своего обращения направлена к центру Земли, поскольку ее радиус-вектор в равные промежутки времени описывает равные площади, а если и замечены некоорые неправильности к описываемых площадях, то доказано, что Луна направлена не в точности к центру нашего шара. И наконец, уже не подлежит сомнению, что все планеты направлены к центру Солнца, поскольку радиус, проведенный от любой

96
97
 

из них к данному центру, описывает равные площади в равные промежутки времени; достаточно наблюдения, чтобы убедиться, что дело обстоит именно так.
Почему комета
не падает на Солнце
и не выходит
за пределы своей орбиты
Быть может, Вы спросите меня, почему комета, находясь в своем перигелии, не падает на Солнце и почему в своем афелии она не выходит за пределы своей орбиты. В самом деле,
в эллипсе, таком, какой я Вам приводил в пример, комета в перигелии * в 6 раз ближе к Солнцу и поэтому в 36 раз сильнее притягивается, а в афелии она в 6 раз дальше от Солнца и в 36 раз менее притягивается. Но отметьте, что, больше притягиваясь, она имеет большую скорость, а скорость не может увеличиваться так, чтобы при этом не возрастала также и центробежная сила. И наоборот, ее скорость уменьшается по мере того, как ослабевает притяжение; соответственно уменьшается и центробежная сила.
Из этого Вы видите, что, чем более эксцентрическим является эллипс, тем более изменяется скорость от афелия к перигелию. Именно это происходит с кометами: они быстро движутся в нижней части своей орбиты - в перигелии и медленно в верхней части - афелии, и именно это ускорение и замедление заставляют радиус-вектор описывать площади, соразмерные периодам времени.
Ее тяготение
подчинено тем же
законам, что и
сила тяготения
вблизи земной
поверхности
* Перигелием называется точка, которая показывает ближайшее расстояние планеты от Солнца, афелием - точка, показывающая наибольшее расстояние от Солнца.
Для того чтобы понять, как тяготение планет и комет (рис. 40) согласуется с силой тяготения на Земле, допустите, что с одной части солнечной поверхности брошено тело таким образом, что оно поднимается по линии ВА до А; Вы видите, что при этом предположении оно поднимается до А, совершая замедленное движение, и что, придя в эту точку, где метательная сила и сила, притягивающая его к центру, действуют под прямым углом, оно будет падать, совершая ускоренное движение по линии ВА. Если же на некотором расстоянии от Солнца Вы бросите то же тело в направлении, параллельном ВА, оно будет двигаться, например, из С в D и опишет эллипс CDc. Все это выводы из всего вышесказанного, или из теорем, тождественных с уже доказанными нами теоремами.

 
Планеты и кометы
должны постоянно
приближаться
к Солнцу

Тем не менее не следует думать, что кометы и планеты должны вечно двигаться по орбитам, однажды ими пройденным. Это было бы так, если бы они перемещались в совершенно пустой среде, где они не встретили бы никакого сопротивления, но разве свет, пронизывающий все небесное пространство, или тон-

Как комета
может упасть
на Солнце
чайшие частицы, отрывающиеся от комет и от планет, не могут стать препятствием для движения этих тел, обращающихся вокруг Солнца? Это сопротивление, правда, будет в несколько тысяч раз меньше того, которое оказал бы воздух, окружающий Землю, но все же это сопротивление. Метательные силы этих тел и, следовательно, их центробежная сила убывают соразмерно с этими препятствиями, а если сила притяжения Солнца, или центростремительная сила, остается неизменной, то все планеты должны постоянно, хотя бы