мки логики, за рамки, систематически показанные логическими предложениями, так как тогда язык перестал бы быть языком [3.03-3.0321]. Всё это характеризует логику как выражение внутренней целесообразности языка, как теорию показывающую, то 'естественно необходимое', что заключено в природе знаков [6.124].
    Итак, предложения логики характеризуются следующими признаками:
-        их истинность опознаётся из особенностей самого символа, т.е. является существенной в противовес случайной истинности действительных предложений;
-        они ничего не говорят о действительности, а потому бессодержательны, формальны;
-        они показывают свойства знаковой системы, представляя их в систематическом виде.
    Особый смысл эти признаки приобретают в связи с тем, что предложения логики Витгенштейн называет аналитическими предложениями [6.11]. Со времён Канта вопрос о критерии, позволяющем различать аналитические и синтетические истины, являлся определяющим для любой теории, которая претендует на установление границ компетенции формальной логики. Если обратиться к самому Канту, то предложенный им критерий представляется не то чтобы недостаточным, но вызывает чувство неудовлетворённости нерешённостью статуса своего основания. Кант говорит, что аналитично то предложение, истинность которого обосновывается согласно закону непротиворечия. Однако сам закон непротиворечия рассматривается как аналитическая истина. Но где же тогда обнаружить основание его самого? Ответ на этот вопрос в высшей степени непрост. Решение проблемы всегда исходило бы из предпосылки, что есть более и менее фундаментальные логические законы. Но если вторые обоснованы первыми, то как обосновать первые? Любая попытка такого обоснования либо приводила бы к ссылке на специфическую 'логическую интуицию', либо предполагала бы, что сферу логических законов регулируют другие, логические же законы, но более высокого уровня. 
    От этой проблемы не свободны логические системы Фреге и Рассела. Аксиоматический метод построения, положенный ими в основу своих теорий, предполагает, что есть более и менее фундаментальные логические законы. Первые представлены аксиомами, вторые - теоремами. Способ обоснования вторых - доказательство из первых, но как обосновать первые? В рамках предложенной альтернативы Фреге выбирает первый путь, а Рассел - второй. Однако апелляция к 'логической интуиции' выводит за рамки формальной логики в сферу созерцания, и "удивительно, что такой строгий мыслитель, как Фреге, принимал степень очевидности в качестве критерия логического предложения" [6.1271]. Что касается Рассела, то удивительно уже то, что логические законы сами должны подчиняться логическим законам, ведь тогда несомненная истинность одних должна выводиться из несомненной истинности других, что само по себе парадоксально. Чем один тип несомненности отличается от другого? "Для каждого 'типа' нет своего особого закона противоречия, как полагал Рассел, но достаточно одного, так как ведь он не применяется к самому себе" [6.123]. Всё, что аналитично, должно находиться на одном и том же уровне. И в этом смысле закон непротиворечия обоснован не более, чем другие аналитические истины.
    Признаки же, предложенные Витгенштейном, задают однозначный критерий распознавания аналитических предложений, обходя указанные трудности. Все предложения логики находятся на одном и том же уровне, среди них нет более и менее фундаментальных, поскольку "всякая тавтология сама показывает, что она - тавтология" [6.127]. Попытка дать доказательство логического предложения есть следствие фундаментального смешения, отождествляющего тавтологии с действительными предложениями. Относительно действительных предложений мы знаем, что они могут быть истинными и ложными, и их доказательство обусловлено стремлением обосновать одну из этих альтернатив. Не то у логических предложений. Поскольку тавтологии 'созданы истинными', каждое предложение логики может быть понято как своё собственное доказательство [6.1265], что и демонстрирует подходящий способ записи. Метод Витгенштейна показывает тавтологичность закона непротиворечия, закона исключённого третьего, да и всех аксиом и производных теорем Шрифта понятий и Principia Mathematica, относящихся собственно к логике, независимо друг от друга. Равноправие этих предложений, как говорится, налицо. Даже если мы и используем термин 'доказательство' применительно к логическим предложениям, то его всегда нужно понимать фигурально, способом, отличным от того, когда мы говорим о доказательстве действительных предложений. Доказательство логического предложения не есть его логический вывод из других предложений, поскольку логический вывод есть лишь иной, отличный от тавтологий способ демонстрации внутренних отношений между предложениями. "Доказательство в логике есть только механическое средство облегчить распознавание  тавтологии там, где она усложнена" [6.1262]. Это распознавание не апеллирует к содержанию, как с необходимостью происходит в случае доказательства действительных предложений, но ограничивается исключительно символическими правилами [6.126]. Как только нам понятны символические правила знаковой системы, мы всегда можем распознать тавтологию как тавтологию; именно поэтому "в логике не может быть ничего неожиданного" [6.1251]. При надлежащем объяснении логика как таковая не даёт повода к удивлению, в ней есть всё так, как оно есть.
    Отталкиваясь от специфики тавтологий, Витгенштейн утверждает: "Логика - не теория, а отражение мира" [6.13]. Она ничего не говорит о содержании мира, но показывает его необходимые черты.
 
3.4.2. Предложения математики
 
    Разъяснение сущности математики связано у Витгенштейна с пересмотром программы логицизма. Характеристика логических предложений как тавтологий показывает невозможность редукции математики к логике в том смысле, который придавали этой процедуре Фреге и Рассел. Используемые ими определения конкретных чисел, скажем нуля, или допущения типа аксиомы бесконечности, с точки зрения автора ЛФТ, выходят за рамки аналитического знания и в этом отношении серьёзно отличаются от того, что может предоставить логика. Витгенштейн не отрицает теснейшую связь математики с логикой, но идёт не по пути модификации первоначальной программы (т.е. по пути, избранному Расселом, который модифицирует подход Фреге в связи с обнаруженным им парадоксом), он предлагает иное понимание сущности числа и, следовательно, иную интерпретацию математических выражений, использующих это понятие. 
    Своё понимание числа Витгенштейн вводит в афоризмах 6.01-6.03. Прежде чем перейти к интерпретации этих нескольких фраз, которые ввиду их чрезвычайной краткости редко вызывают чувство полного понимания того, что хотел сказать автор, обратимся к мотивам, по которым вообще требуется дать общее определение числа. Стремление ввести понятие числа объясняется необходимостью зафиксировать общее свойство членов натурального ряда. Фреге, например, даёт определение понятия числа, чтобы на этом основании ввести конкретные числа и объяснить свойства числового ряда. Конкретные числа рассматриваются как совокупность предметов, обладающих общими свойствами, которые и фиксируется в определении. Именно это определение, полагающее число как то, что соответствует классам, находящимся во взаимнооднозначном соответствии, позволяет отнести единицу, двойку, тройку и т.д. к одной и той же рубрике и обосновывает такие утверждения, как: "1 есть число", "2 есть число" и "3 есть число" и т.п. Определение, построенное таким способом, основано на возможности образования общности предметов, обладающих общими свойствами, которые мы называем числами.
    Такой подход не удовлетворяет Витгенштейна. В афоризме 6.031 он пишет: "В математике теория классов совершенно излишняя. Это связано с тем, что общность, употребляемая в математике, не является случайной". Это замечание, видимо, нужно понимать следующим образом. Стремление дать определение понятию ставится в зависимость от возможности образования класса предметов, подпадающих под это понятие. Например, определение понятия 'человек' предполагает возможность образования класса людей. Даже если речь идёт о пустом понятии, скажем 'летающий крокодил', само по себе оно не исключает возможности образования класса. Элементы класса по предположению должны выполнять соответствующую материальную функцию, выраженную понятием, которое и раскрывается в определении. Однако из самого по себе понятия нельзя заключить, является оно пустым или же нет. Определить, существует ли соответствующая общность, должна реальность. Именно реальность решает, что функция 'человек (х)' истинна при некоторых х, а функция 'летающий крокодил (х)' ложна при любом х. В этом отношении непустота общности людей и пустота общности летающих крокодилов является случайной. Эти соображения применимы и к фреге-расселовскому определению числа. Введение понятия числа с точки зрения классов предметов, находящихся во взаимнооднозначном соответствии, зависит от существования таких классов. Общность таких классов является случайной; в реальности нет ничего такого, что требовало бы её с необходимостью. Но если бы реальность оказалась другой, фреге-расселовское определение не достигало бы цели, поскольку понятие числа оказалось бы пустым. То же самое касается определения конкретных чисел. Например, определения нуля с точки зрения класса неравных самим себе предметов зависит от действительной пустоты этого класса. В этом смысле общность, соответствующая нулю, также является случайной. 
    Итак, апелляция к классам, заданным материальными функциями, при определении числа не достигает цели, поскольку все они являются случайными общностями. Но как ввести неслучайную общность? Решению этой проблемы служит вводимое Витгенштейном различие между содержательными понятиями (понятиями в собственном смысле, которые выражаются функциями) и формальными понятиями. Именно первые служат выражением случайных общностей, тогда как вторые, показывая структуру языка, выражают то, без чего обойтись невозможно. Понятию 'человек' соответствует случайная общность, формальное понятие 'предмет' указывает на необходимую общность, затребованную элементами языковой структуры. Как выражение неслучайной общности слово 'число' также должно пониматься как обозначение формального понятия [4.1272] и, как таковое, обладает всеми рассмотренными ранее чертами формальных понятий, а именно: число не выражается материальной функцией, поэтому все выражения типа "1 есть число" или "Существует только один нуль" являются бессмысленными подобно тому, как бессмысленно выражение "Сократ - это предмет". Как и все формальные понятия, число изображается в логической символике переменной подобно тому, как, например, переменное имя 'х', выражая общую черту всех имён, указывает на формальное понятие предмета. Как формальное понятие, число выражает внутренние свойства и отношения, которые обнаруживают себя в функционировании знаков. Теперь остаётся только выяснить, какие именно внутренние свойства и отношения обнаруживает формальное понятие числа и переменной какого вида оно изображается.
    Для прояснения характера означенных отношений вновь вернёмся к фреге-расселовскому определению. Натуральные числа упорядочены в ряд, и определения должны объяснить его основные черты. При этом общее определение числа с точки зрения классов, находящихся во взаимнооднозначном соответствии, устанавливает, что может рассматриваться как член натурального ряда, а способ построения определений конкретных чисел должен эксплицировать отношение а следует за b, упорядочивающее этот ряд. Поскольку определение каждого последующего числа строится на основе определения предыдущего, постольку отношение порядка удаётся зафиксировать, сохраняя характеризующие ряд черты, а именно: 1. Натуральный ряд чисел имеет начало, причём единственное. 2. Каждый член натурального ряда имеет последующий член, т.е. ряд чисел бесконечен. 3. Каждый член натурального ряда имеет только один член, непосредственно следующий за ним, и только один член, непосредственно ему предшествующий, и т.д.[200] 
    Действительно, начало и единственность такого начала заданы способом, которым вводится определение нуля. Наличие последующего члена связано с тем, что на основе предыдущего определения всегда можно построить определение последующих чисел. Единственность непосредственно предшествующего и последующего членов вытекает из того, что определение каждого последующего члена строится непосредственно из определения предшествующего члена и только из него[201]. Однако, несмотря на эвристичность, подобная экспликация черт натурального ряда грешит существенным недостатком. Как было показано выше, она основана на случайных общностях, и поэтому устанавливаемое отношение является содержательным, зависящим от черт действительности. В этом смысле оно ничем не отличается от любого другого ряда, который может быть задан с точки зрения существования случайных общностей. Проясним последнее утверждение примером. Допустим, нам нужно установить отношение порядка на классе людей[202]. Для этого, скажем, мы можем выбрать отношение предок по мужской линии. Возможность экспликации данного отношения будет зависеть от того, как мы дадим общее определение понятия 'предок по мужской линии' и на его основании введём понятия 'отец', 'дед по отцу', 'прадед по отцу' и т.д. Очевидно, что возможность данных определений зависит от существования соответствующих им случайных общностей. В противном случае все эти понятия были бы пустыми, а отношение, на экспликацию которого мы претендуем, лишённым смысла. Порядок, установленный на случайной общности, является столь же случайным, как и сама общность. Поэтому натуральный ряд чисел, который зависит от счастливой случайности существования классов, находящихся во взаимнооднозначном соответствии, был бы также случайным. То, как фреге-расселовское определение числа и на его основе определения конкретных чисел эксплицируют отношение порядка на натуральном ряду чисел, вполне аналогично попытке определения отношения порядка на классе людей. Отношение следовать за понимается подобно отношению предок, заданному на классе людей, т.е. как внешнее, содержательное отношение, фиксирующее, может быть, и наиболее общие, но всё же черты реальности. 
    С точки зрения Витгенштейна, числовой ряд не должен зависеть от случайности. Отношение следовать за должно иметь принципиально иной характер, чем внешние, содержательные отношения между предметами. При экспликации отношений у Фреге и Рассела имеет место то же самое смешение, когда формальное понятие предмета уподобляют содержательному понятию, например понятию человека. Нельзя сказать, что "Сократ - это предмет", в том смысле, в котором говорят, что "Сократ - это человек". То, что Сократ - это предмет, показывается использованием 'Сократ' в качестве имени, когда говорят, что он является человеком. То же самое имеет место относительно отношения следовать за. Это отношение является внутренним, и в отличие от внешних отношений о нём ничего нельзя сказать (вернее, любая попытка что-то сказать о нём приводила бы к бессмысленным псевдопредложениям), оно показано структурой предложения, которое говорит о внешних отношениях. Так, предложение "а предок b" говорит об определённом внешнем отношении и своей логической формой aRb показывает, что b следует за а. 
    Если говорить о ряде, то он может быть упорядочен внешним отношением. Примером, если вернуться к отношению предок по мужской линии, может служить соответствующее генеалогическое древо. В этом случае ряд является содержательным и, стало быть, случайным, как случайно всё то, что зависит от общностей, существующих в действительности. Но ряд может быть упорядочен и внутренним отношением. Тогда ряд не является случайным, но предопределён структурой предложений, в которых обнаруживается такое отношение. Ряды, упорядоченные внутренними отношениями, Витгенштейн называет формальными [4.1252]. Примером такого формального ряда может служить следующая последовательность предложений:
 
"aRb"
"(?x):aRx?xRb"
"(?x,y):aRx?xRy?yRb".
Здесь отношение следовать за обнаруживается структурой каждого члена данного ряда; то, что 'b' следует за 'a' показано отношением, которое фиксирует их логическая форма. Как говорит Витгенштейн, "если b стоит в одном из таких отношений к a, то я называю b следующим за a" [4.1252]. Однако здесь каждое предложение показывает, что 'b' следует за 'a', но как выразить то, что это является общей чертой всего формального ряда данных предложений? Для ряда, заданного содержательным отношением, это можно сделать, определив, что может выступать членом такого ряда. Скажем, для генеалогического древа достаточно ввести определение понятия 'предок'. Но для формального ряда этого сделать нельзя, поскольку 'член этого формального ряда' является формальным понятием и не может вводиться с точки зрения общего определения [4.1273]. Формальное понятие вводится использованием переменных, которые фиксируют общие черты соответствующих знаков. Например, формальное понятие предмета вводится использованием переменного имени 'x', выражающего общие черты имён [4.1272], и уже способ использования этой переменной показывает, является ли 'a' именем. Так и формальное понятие 'общий член формального ряда' можно выразить только переменной, и уже эта переменная показывает, является ли тот или иной элемент членом данного формального ряда или же нет. "Мы можем определить общий член формального ряда, давая его первый член и общую форму операции, которая образует последующий член из предыдущего предложения" [4.1273]. Для приведённого примера это можно было бы выразить, указав на то, что предложение "aRb" является первым членом формального ряда, и задав операцию, которая вводит опосредующие элементы в каждое последующее предложение. В общем случае, если форму операции записать, скажем, как "О'?", в качестве первого члена ряда взять 'a' и повторным применением операции образовать формальный ряд "a, O'a, O'O'a, O'O'O'a ...", то формальное понятие 'общий член этого формального ряда' запишется переменной "[a, x, O'x]" (где a - это первый член ряда, x - произвольный член ряда, а O'x - форма операции, применённая к произвольному члену ряда) [5.2521, 5.2522].
    Различие между формальным и содержательным упорядочиванием должно, по Витгенштейну, лежать в основании правильного объяснения числа. Ряд, о котором идёт речь в математике, является формальным: "Числовой ряд упорядочен не внешним, а внутренним отношением" [4.1252]. Основание для введения числа должно предоставить такое упорядочивание, которое не вызывает сомнения ввиду случайности своих элементов. Отношение порядка не может рассматриваться как внешнее, но должно характеризовать внутренние отношения, показанные знаками. Формальный ряд, рассмотренный выше в качестве примера, показывает, какой тип отношений должна подразумевать математика. Однако сам этот ряд, как и ему подобные, не является достаточным основанием для введения числа. Он может служить хорошим примером формального упорядочивания, но он не может предоставить необходимое основание. Действительно, формальный ряд предложений типа "aRb", "(?x):aRx?xRb", "(?x,y):aRx?xRy?yRb" зависит от случайной конструкции элементарных предложений, общую форму которых невозможно дать a priori [5.556]. Но основание для введения числа должен дать такой формальный ряд, который позволяет себя предвидеть исключительно из априорных особенностей конструирования предложений.
    Прежде чем перейти к рассмотрению этих особенностей, обратимся к нескольким замечаниям, которые Витгенштейн оставил на полях экземпляра первого издания ЛФТ, принадлежавшего Ф.П.Рамсею. Эти замечания в некоторой степени поясняют мотивы и основные идеи, которые послужили руководящей нитью для построения оригинальной философии числа. На полях напротив афоризма 6.02 Витгенштейн записал: "Начало логики предполагает исчисление, а потому число. Число является фундаментальной идеей исчисления и должно вводиться как таковое", а несколько выше: "Фундаментальная идея математики - э