твенным ограничением - не выходить за него, а также различные их распределения по энергиям при условии равенства их сумм полной энергии. Это справедливо как для вполне стационарного состояния, так и для адиабатического изменения объема. По сути контроль над системой и в стационарном состоянии, и на адиабате одинаков в той мере, в какой на адиабате можно пользоваться параметрами стационарного состояния. Ни в каком состоянии за временем не следят. Ни начало движения, ни какие-то его особые моменты не согласуются специальным образом с состоянием микросистемы. Движения поршня одинаковы независимо от конкретных микроусловий, и в этом отношении управление микросистемой неточное, грубое, что как раз и не позволяет работать без холодильника. Эту неточность контроля можно оценить численно.
     Рассмотрим случай одной частицы. Контролировать можно и одну частицу. Макроскопическое вырождение зависимости результата изменения объема от точного микросостояния имеет место и в этом случае. Определение давления, усредненного по некоторому интервалу времени, сохраняется.
     Что мы можем сказать о микросистеме, измерив макросостояние? В обычном статистическом подходе в подобной ситуации говорят о неопределенностях, соответствующих так называемому микроканоническому ансамблю. Для нашего случая это будет неопределенность в координате размером в объем  L  при точной фиксации энергии частицы. Но положение несколько сложнее. Посмотрим внимательнее на процесс реального измерения.
     Однозначное давление  является действительной наблюдаемой только в схеме безвременной термодинамики (термостатики), которая существует только как предел и которая есть, таким образом, лишь некоторая идеализация реальности, работоспособная лишь постольку, поскольку допустимы, приемлемы не абсолютно точные результаты действий. На практике мы никогда не можем обеспечить бесконечного интервала усреднения в стационарном состоянии, а изменять объем бесконечно медленно также имеет не слишком много смысла. Но тогда и результаты процессов изменения объема не вполне однозначны даже в макроскопическом отношении. И лишь наше безразличие к бесконечной точности делает приемлемым пользование строго однозначной термодинамической схемой. И исчерпывающим образом сопоставлять чистую термодинамику с модельно принятой за исходную механикой можно только с учетом этого обстоятельства, т.е. с учетом всей природы адекватности термодинамики, иначе, наполнив процедуру согласования недостижимыми пределами, мы сделаем ее практически неработоспособной.
     Итак, действительно наблюдаемой (измеряемой) является не предельное значение , а  P(t, ?t) - среднее давление по конечному, хотя, может быть, и большому интервалу времени. Посмотрим, что дает его измерение.
     Пусть измеряется среднее значение давления за интервал  ?t . В соответствии с тем, что корреляции (согласования) моментов движения поршня с состоянием микросистемы во времени специально не осуществляются, отсутствуют, моменты ударов частицы о стенку не фиксируются и не учитываются при расчетах положения частицы и ее скорости, не учитывается также и точное положение интервала  ?t  на временной оси, вернее, оно никак не привязывается к каким-либо выделенным моментам движения частицы. Ввиду дискретности ударов это означает, что измеренное среднее за интервал давление могло получиться при различных энергиях частицы, так как неизвестно, сколько зубцов "пилы" (см. рис. 5 для случая нулевой скорости стенок, т.е. и для адиабатического предела) с возможной разницей в один захватил интервал  ?t. С другой стороны, повторные измерения давления за тот же интервал времени в связи с той же случайностью положения интервала на временной оси могут давать отличающиеся значения. В зависимости от положения интервала числа ударов частицы о стенку за  ?t  могут отличаться на единицу (рис. 5), тогда обнаруживаемые давления могут отличаться на


Рис. 5.
     Если мы захотим с помощью наблюдаемых  L  и P(t, ?t) найти энергию микросистемы по уравнению типа
LP = 2E ,
то будем определять энергию с неточностью  ?E , обратно пропорциональной  ?t :
? = ?E * ?t ~ Lp.
(5)
     Подчеркнем, что у самой частицы никакого разброса энергий нет. Видно также, что конкретное значение допустимой неточности описания (в данном случае - неточности в указании энергии), при которой бесконечный интервал усреднения практически может быть заменен на конечный для возможности появления работоспособной однозначной термодинамической схемы, не имеет значения, лишь бы оно не было нулевым. Требование бесконечной точности термодинамического описания, влекущее за собой требование действительно бесконечного интервала усреднения, даже в нашей простой модельной реальности сделало бы практическое появление однозначной термодинамики совершенно невозможным. Приемлемость ненулевой неточности описания вообще делает возможным существование конечных теорий и должна явным образом учитываться в точных формулировках принципа соответствия, о чем еще будет говориться впоследствии.
     Итак, контроль над микросистемой, осуществляемый путем оперирования объемом и давлением как достаточными для управления системой параметрами, имеет характерную ненулевую неточность, имеющую размерность действия, в то время как детерминистской механикой, принятой в нашей модели, в принципе допускается контроль, способный сколь угодно точно "сопровождать" в фазовом пространстве траекторию микросистемы. Неточность (5) отражает несовершенство контроля над газом в тепловой машине, не позволяющее управлять микросистемой так, чтобы обойтись без холодильника. Заметим, что нашей непосредственной задачей является выяснение существа связи и различия механики и термодинамики, а не выработка конкретных рекомендаций по оптимальной конструкции каких-либо машин. Так вот термодинамика отличается от механики и порождается особым контролем над системой, не использующим всех возможностей, предоставляемых механикой, и, кроме того, пренебрегающим абсолютной точностью результатов или их описания. В рассматриваемой модели характер применяемого контроля идет не от самой системы, а извне ее. При контроле, характеризующемся неточностью типа (5), работа без холодильника невозможна. Теперь нам осталось только связать эту неточность с энтропией, на что она очевидно напрашивается.
     
6. НЕТОЧНОСТЬ КОНТРОЛЯ НАД СИСТЕМОЙ И ЭНТРОПИЯ
     
     Определим сначала энтропию для одномерной системы с одной частицей. Ввиду того, что по традиционным представлениям это звучит достаточно курьезно, перечислим наши основания.
     Часто говорят, что термодинамическое описание становится более адекватным с ростом числа частиц в силу уменьшения по статистическим законам роли флуктуаций, нарушающих точную однозначность термодинамических закономерностей. Надо сказать, что общая беда большинства работ по обоснованию статистической физики и термодинамики заключается в попытках связать чуть ли не все эффекты макроскопического порядка с какой-либо одной-единственной, все порождающей причиной. Обычно это большое число частиц. Большое число частиц должно давать и однозначность адиабаты, и необратимость неравновесных процессов, и точную аддитивность энтропии после учета неразличимости перестановок тождественных частиц (согласно предельному равенству в формуле Стирлинга) и т.п. К сожалению, совершенно аналогично энтропия считается одинаково определенной и имеющей один и тот же смысл и одинаковые свойства в самых разных областях - от тепловой машины до плазмы и даже до черных дыр, на которые аккретирующее вещество зачем-то переносит свою энтропию. Это именно тот случай, о котором говорил Гильберт, когда безуспешно пытаются решить большую, общую задачу, не разобравшись досконально с более ограниченными и простыми.
     Как должно быть понятно, системы получающихся эффектов, которые должны быть отражены теориями, определяются не только составляющими объект элементами, но и всеми действиями с ними, контролем над ними. Очевидно, что контроль над частицами в "медленных" тепловых машинах отличается от контроля, скажем, над частицами устойчивых кристаллов. Но тогда ниоткуда не следует, что какие-то эффекты, например, аддитивности должны порождаться в обоих случаях по одному и тому же механизму. Конечно, есть ситуации, когда чистота проявления какого-то закона растет с увеличением числа частиц. Но однозначность изменения внутренней энергии и давления при изменении объема в адиабатическом пределе вообще не зависит от числа частиц, а по существу только эта однозначность и порождает такое вполне термодинамическое требование, как необходимость холодильника для циклической машины. Для одной частицы аналогично случаю с любым числом частиц может быть определено не флуктуирующее давление, образующее с другими переменными замкнутую систему, полностью описывающую как стационарное макросостояние, так и его изменения в результате допустимых макроскопических воздействий, определенных в данной схеме контроля и термодинамики. Вероятность, зависящая от числа частиц, появляется на этапе установления теплового или иного неравновесного контакта между системами. Однако этот этап является все же довольно посторонним по отношению к непосредственной причине, вызывающей необходимость холодильника. Кроме того, как известно из термодинамики, на адиабате сохраняется энтропия, т.е. на разных адиабатах и значения энтропии разные, т.е. именно адиабате присуща какая-то чистая характеристика, определяющая энтропию, а теплопередачи при контактах, с той или иной степенью однозначности (в зависимости от числа частиц) переводящие систему на другие адиабаты, просто меняют эту характеристику, но сама по себе на адиабате она определена без всяких флуктуаций при любом числе частиц. Адиабата существует и для одной частицы, поэтому и для одной частицы на адиабате можно и нужно определить энтропию.
     Итак, обратимся к определению энтропии системы с одной частицей.
     Имея макронаблюдаемые объем и давление, мы можем по обычным правилам написать для энтропии феноменологическое выражение, но нам надо получить, что называется, статистическое выражение, обращаясь к более глубоким, чем термодинамическая феноменология, основаниям и переменным.
     Стандартная статистическая энтропия пропорциональна логарифму некоторого объема в фазовом пространстве системы. Обычная трудность заключалась именно в получении этого ненулевого фазового объема /8,9/. Теперь же у нас есть неточность в действии  ?  из (5). Эта величина характеризует грубость контроля над микросистемой, не позволяющую получить результат, максимально допустимый механикой. Энтропия в традиционной интерпретации, в том числе и при феноменологическом рассмотрении, также связывается с некоторой трудностью в получении работы за счет имеющейся тепловой энергии. Это говорит в пользу существенной связи энтропии с неопределенностью в действии. Если же говорить об их поведении в процессах, то следует отметить тот важный факт, что в разных точках адиабаты величина

в силу (1) или (4) сохраняется, как и энтропия:  ?  есть адиабатический инвариант. (?  взято равным  Lp, так как константа пропорциональности имеет порядок единицы и ее точное значение здесь не существенно.) Ввиду одновременного сохранения на адиабате энтропии и неточности в действии должно быть  S = S(?).  Выбирая обычный вид  S, можем записать
S = k ln(Lp) - S0 ,
(6)
где  k - постоянная Больцмана, а  S0 - начало отсчета. При исходной классической микромеханике, способной в принципе контролировать действительное состояние системы абсолютно точно, указывая единственную фазовую точку системы, мы можем пользоваться только разностью значений энтропии в различных не точно контролируемых состояниях. Одно значение энтропии будет отличаться от другого на конечную величину соответственно тому, что неточности в действии будут отличаться одна от другой в конечное число раз, в то время как сравнение этих неточностей с нулевой неточностью механики и их логарифмов приводило бы к бесконечностям. Иная ситуация была бы в случае квантовой микромеханики, где есть исходная ненулевая неточность в действии, и тогда можно было бы ввести абсолютный отсчет энтропии (что и делается с помощью теоремы Нернста).
     В термодинамической теории температура, вопреки расхожим о ней представлениям, величина не менее сложная, чем энтропия. Стандартное ее определение через производную энтропии по энергии при постоянном объеме в нашем случае дает

     Таким образом, энтропия и термодинамическая температура оказываются характеристиками неточности контроля над микросистемой в термодинамике. Тепловая энергия - это не энергия "хаотического движения", которое не может быть определено, а в некотором смысле плохо контролируемая энергия, в принципе определимая даже для одной частицы.
     Можно работать с частицей и контролировать ее с помощью тех же макропараметров и тогда, когда она каким-то образом имеет контакт с термостатом. Как в таком случае записать энтропию? Если при контакте не изменятся ни макронаблюдаемые, ни макротраектория (адиабата - если средняя энергия частиц термостата регулируется соответствующим образом), то макропеременные, описывающие контроль над частицей в такой ситуации, логично приравнять макропеременным рассмотренной выше изолированной системы. Заметим, что в феноменологической термодинамике системы не различаются по распределениям: все внутренние подробности для равновесной (с медленными движениями) термодинамики безразличны, не наблюдаемы. Важно лишь, чтобы совпадали макронаблюдаемые и макропроцессы и чтобы ту же часть энергии газа можно было превратить в работу.
     Итак, предполагаем, что термостат может менять энергию частицы, оставляя в соответствующих состояниях ту же среднюю энергию, что и энергия частицы без термостата. Тогда при каждом  L  давление  P  не меняется по сравнению со случаем частицы без термостата. Тогда макропеременные, в том числе  S, T  и характеристическую неточность  ?  следует приравнять макропеременным изолированной системы. Следовательно

S = k ln(Lpэфф) - S ,
где  E - средняя энергия частицы, в частном случае изолированной системы равная ее точной энергии,  pэфф  имеет смысл некоторого эффективного, характеристического импульса.
     Таким образом, энтропия и термодинамическая температура могут быть введены и без термостата, и с термостатом любой мощности. Требования к импульсным распределениям - самые слабые, в частности, распределения могут быть дискретными. Единственная черта распределения, определяющая здесь макропеременные и макропроцессы - средняя энергия. В рассмотренной ситуации термодинамическая температура с точностью до множителя совпадает со средней энергией и не обязана быть, скажем, параметром непрерывного максвелловского распределения. Тем самым снимается принципиальная трудность стандартного статистического подхода - необходимость пользоваться непрерывными распределениями, в то время как классическая система сама по себе может характеризоваться лишь единственной фазовой траекторией. Вся вероятность, порождающая статистику, происходит от нескоррелированности внешних воздействий с состоянием микросистемы как в случае системы в термостате, так и в случае изолированной системы. Подчеркнем, что эта нескоррелированность определима лишь как особая оценка качества действий "наблюдателя", преследующего некоторую цель, и связана с качеством характерных для этих действий результатов. С точки же "зрения" самой механики оценка происходящего как более или менее скоррелированного совершенно неуместна. Объективно результат одного движения ничем не лучше результата другого. Для системы самой по себе совершенно безразлично, куда идет часть или вся энергия - на поднятие груза или на увеличение энергии холодильника, поэтому коэффициент полезного действия, о котором мы все печемся, без заинтересованного "наблюдателя" лишен смысла и не определим, поэтому же и энтропия, и температура, и вообще макросостояние и макрозаконы без оного не существуют.
     Нам осталось определить энтропию для набора частиц, и тут мы естественно сталкиваемся с вопросом ее аддитивности. Выберем следующий путь. Предварительно выясним смысл, причины и условия аддитивности, а затем построим выражение для энтропии с учетом выявленного, чтобы не получалось, как в традиционной методике, что сначала строится выражение, а затем корректируется с практически апостериорным оправданием.
     
7. АДДИТИВНОСТЬ ЭНТРОПИИ
     
     Сначала посмотрим, откуда вообще идет требование аддитивности энтропии. Иногда подобные требования обосновывают математическими необходимостями, возникающими в формальном аппарате теории. Такие оправдания рискованны, так как они, во-первых, не проясняют глубоких физических причин требуемого свойства, что приводит к неразборчивости в средствах разрешения проблемы, и, во-вторых, будут гарантированно справедливыми только в случае развития исходно верного подхода, а при наличии в нем дефектов могут привести к дополнительному нагромождению несообразностей.
     Рассмотрим несколько объемов с газом при одинаковых давлениях и температурах (точнее будет сказать, давлениях и плотностях частиц, так как при не определенной энтропии температура тоже пока не определена), используемых как цилиндры с рабочим телом в "медленной" циклической тепловой машине для получения работы обычным способом. Если их для той же цели при том же способе действий можно с прежним суммарным эффектом заменить объединенным объемом, то в обоих случаях контроль над частицами эффективно одинаков. Отсюда же следует правило, что получаемый эффект при условии сохранения плотности пропорционален числу частиц. Энтропия входит в формулы термодинамики таким образом, что при точном равенстве указанных эффектов от набора систем и от объединенной системы энтропия объединенной системы должна быть равна сумме значений энтропии для набора разделенных систем (другими словами, она не меняется при переходе от одного случая к другому).
     Можно подумать: если энтропия в простой классической термодинамике аддитивна, то в чем же вопрос? Что мы пытаемся выяснить? А вопрос все же есть. Хотя "феноменологическая" энтропия аддитивна, пока неясно, что именно на более глубоком уровне к этому приводит. Во-первых, возможно, что не для всяких действий эта термодинамика будет точно адекватной. Тогда, скажем, прием получения аддитивности путем учета неразличимости перестановок тождественных частиц, который должен работать всегда при постулированной механике, ошибочен. Во-вторых, феноменология, не зная ничего о том, откуда она сама происходит, не ведая о частицах и микромеханике, не может указать, для каких микроскопических ситуаций она применима и, в частности, при каких числах частиц должна возникать аддитивность энтропии. Что, если мы обнаружим ситуацию, когда и при конечных числах частиц эффекты будут строго суммироваться, в макроскопическом отношении точно воспроизводя термодинамические правила? Тогда и строгая аддитивность энтропии не должна быть следствием предельного перехода к бесконечному числу частиц.
     Прием, предлагаемый здесь для получения указаний о свойствах макропеременных, тот же, что был применен для записи выражения для энтропии системы в термостате при наличии выражения для энтропии изолированной системы. Действительно, в рамках термодинамики нет ничего другого подтверждающего или опровергающего какие-либо связи, кроме "макроскопически" наблюдаемых соотношений между различными исходными состояниями и результатами типичной работы с ними. В сущности мы ищем характеристики контроля над наборами частиц. Тогда если при разных расположениях частиц (в данном случае - при различных способах размещения их по объемам) и одной и той же методике работы с ними будет в целом получаться один и тот же макроскопически проявляющийся результат, то это естественно должно означать, что контроль над частицами при этих разных расположениях в рамках типичных применяемых действий эффективно одинаков.
     Итак, аддитивность энтропии соответствует возможности точной замены нескольких машин с рабочими телами при одинаковых давлениях и плотностях ч