Готлоб Фреге




ОСНОВОПОЛОЖЕНИЯ АРИФМЕТИКИ

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
ИССЛЕДОВАНИЕ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА




Перевод В.А. Суровцева










Томск: Издательство "Водолей", 2000
ЛОГИЦИСТСКАЯ ПРОГРАММА Г.ФРЕГЕ

   К середине XIX века усилиями ряда мыслителей стал, наконец, проясняться характер связи математики и логики, единство которых было предугадано ещё Г.Лейбницем. Осознание тесной связи пришло со стороны математиков. Первый шаг на этом пути был сделан трудами англичан А. де Моргана и Дж. Булля. Предложив алгебраическую интерпретацию логических отношений, они создали предпосылки для создания математизированной логики, которая нашла своё окончательное выражение в трудах немецкого математика Э. Шредера. Рассматриваемая как раздел алгебры логика предстала здесь как совокупность вычислительных процедур, распространённых с отношений между переменными величинами на отношения между переменными содержаниями. Однако, несмотря на зримые достижения, такой подход таил одно парадоксальное следствие. С одной стороны, логика представлялась разделом математики; с другой стороны, понимаемая как наука об универсальных законах мышления, логика должна была оправдать, в том числе и математические рассуждения. Выход из ситуации был найден великим немецким логиком Г. Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную математику.
   Несмотря на исключительную новизну предложенного решения, суть новаций не выходила за рамки внутренних интенций развития современной математики. Создание неколичественной алгебры, теории трансфинитных чисел и т.д. всё более зримо указывало на отсутствие связи между математическими положениями и эмпирическим исследованием. Наличие независимых друг от друга, но в равной степени обоснованных теорий типа неэвклидовых геометрий требовало нового обоснования специфики математического рассуждения. Таким образом, математика всё более утрачивала эмпирическую основу, что приводило к двум важным следствиям. Во-первых, математические символы всё более и более теряли конкретную связь с пространственными и количественными отношениями, приобретая формальный характер, более свойственный логике, которая, отвлекаясь от содержания мысли, оперирует чистыми формами, репрезентирующими последовательность рассуждений. Математика становится наукой о порядке. Во-вторых, математическое знание более не рассматривается как совокупность истин об особом роде предметов, как считалось со времён Платона, а понимается как выведение следствий. Математики отказываются от понимания истины как определённой адеквации между продуцируемым ими знанием и действительностью. Критерием истины становится непротиворечивость следствий, полученных из исходных постулатов. Стало быть, и в этом отношении логика, как анализ непротиворечивости рассуждения, приобретает исключительное значение. Оба следствия по существу содержат требование логического прояснения лежащих в основании математики понятий. Исследование должно выявить их структурные особенности, обеспечивающие возможность сугубо формального подхода, и гарантировать непротиворечивость формулируемых с их помощью постулатов.
   В этом русле как раз и развиваются идеи Г.Фреге, который ставит перед собой проблему выяснения того, как далеко можно продвинуться в арифметике только с помощью умозаключений. Свою задачу он видит в том, чтобы свести основное понятие арифметики "упорядочивание в ряд" к логической последовательности и на этом пути объяснить понятие числа. Отсюда возникает своеобразная программа создания логизированной математики, получившая название логицизма. В общем виде эта программа результируется в двух принципах: во-первых, все понятия арифметики должны быть определены с помощью понятий логики и, следовательно, все утверждения арифметики должны быть преобразованы в утверждения логики; во-вторых, в результате такого перевода все истины арифметики должны стать истинами логики. Если учесть, что вся математика может быть сведена к арифметике, данная программа представляет собой проект последовательного выведения всего математического знания из логического. Однако решению этой основной задачи мешало одно препятствие. Дело в том, что язык, обычно применяемый математиками в своих рассуждениях, обладал значительными недостатками, связанными как с естественными эквивокациями, которые не устранялись математическими символами, поскольку для их связи всё ещё использовались выражения обыденного языка, так и с энтимемичностью, скрывающей полную совокупность умозаключений, приводящих к требуемому следствию. Этот недостаток невозможно было устранить и средствами, предлагаемыми традиционной логикой, поскольку её язык не приспособлен для выражения фундаментальных для математики понятий, например понятия отношения. Устраняя этот недостаток, Фреге дополняет логицистскую программу задачей создания новой логики, решение которой рассматривается как необходимое введение. На этом пути в первой крупной работе Шрифт понятий (1879)1 немецкий логик фактически создаёт современную логику, которая замышлявшаяся как средство анализа математического рассуждения стала универсальным средством исследования любого языка.
Предлагаемая читателю в русском переводе вторая крупная работа Г. Фреге Основоположения арифметики (1884) решает задачи, связанные непосредственно с логицистской программой. Здесь решается проблема выражения с помощью собственно логических терминов основного арифметического понятия. Определяющая дистинкция между понятием и предметом, достигнутая в первой работе, используется как мощное орудие разрешения парадоксов интерпретации числовых операций и арифметических законов. Критикуя предшествующие способы обоснования чисел - от психологизируюшего реализма до формализма, - немецкий логик основывает своё исследование на специфике структуры понятия, рассматривая число как отражение особенностей этой структуры. Число предстаёт как свойство понятия, которое далеко отстоит как от психологической ассоциации представлений, так и от простого оперирования значками. Сведение числа к свойству понятия позволило: во-первых, рассмотреть способы рассуждения, ранее считавшиеся сугубо математическими (например, принцип математической индукции), как разновидность логического метода получения следствий, и, во-вторых, объяснить природу трансфинитных и комплексных чисел, существование которых казалось парадоксальным. Таким образом, арифметика получала столь необходимое ей достоверное основание, которое связывалось с очевидностью логического знания.
   Несмотря на то, что осуществление задач, поставленных Г.Фреге, в целом носит технический характер и на первый взгляд далеко отстоит от насущных проблем философии, их реализация имеет исключительный характер, в том числе и для последней. Со времён И.Канта истины математики и логики считались истинами совершенно различных типов, проходя под рубрикой синтетических и аналитических соответственно. Успешная реализация логицистской программы потребовала бы пересмотра характера всего знания, устранив из области математики созерцание.
   Наиболее полно идеи, первоначально представленные в Шрифте понятий и Основоположениях арифметики, нашли своё окончательное выражение в капитальном труде (1893-1902) Основные законы арифметики2. Фреге считал свою миссию практически законченной, но как раз тогда английским философом и логиком Б.Расселом был обнаружен парадокс, показавший, что технические методы, которые разрабатывал и, как представлялось, успешно применял немецкий логик, таили в себе глубокое противоречие. С этого момента программа логицизма становится практически исключительной прерогативой Рассела, который представил её в реформированном виде в подготовленном совместно с А. Уайтхедом трёхтомном труде Principia Mathematica (1910-1913)3. По иронии судьбы логизированная математика становится делом англичан, поменявшись ролями с математизированной логикой, которая, возникнув в Англии, нашла своё завершение в Германии.
   Однако обнаружение технических парадоксов ни в коей мере не отменяет значимость работы немецкого логика. Несмотря на то, что на дальнейшее развитие логики и математики пропедевтическая задача создания новой логики оказала гораздо большее влияние (новые средства формального анализа, предложенные Г.Фреге, фактически лежат в основании всех последующих разработок символической логики и могут рассматриваться как достижение, по существу независимое от логицизма), чем сама логицистская программа, как и всякая новаторская работа Основоположения арифметики содержит идеи, вошедшие в необходимый арсенал современных философских методов. Эта книга способствовала глобальной реформе в области философии математики, философии языка и теории познания. В исследованиях по символической логике и основаниях математики ссылки на эту работу присутствуют в обязательном порядке. Для философских школ аналитического направления данный труд по многим вопросам до сих пор остаётся определяющим. Определение понятия числа с точки зрения логических понятий представляет собой классическую модель редукции одной области знания к другой, которая до сих пор служит как образцом для исследований подобного рода, так и примером реализации критических усилий философов и математиков различных школ и направлений. Последовательная критика психологизма привела к значительному изменению структуры и формы теории познания, возродив, в противовес субъективизации описания познавательных процессов, так называемый "реализм" в логике и математике, который оказал значительное влияние на феноменологию. Ряд принципов (например, принцип контекстности), сформулированный Г.Фреге в данной работе, до сих пор служит руководством для исследований в области лингвистической философии и языкознания.
При жизни Г.Фреге сетовал на непонимание ввиду технической сложности и оригинальности высказываемых им идей. Возможно, именно это сохраняет свежесть их восприятия современным читателем и служит поводом к новой интерпретации, зачастую далеко отстоящей от оригинального источника.


В.А.СУРОВЦЕВ

Die

Grundlagen der Arithmetik

eine logish mathematische Untersuchung
uber den Begriff der Zahl






VON

Dr. G.FREGE
a.o. Professor an der Universitat Jena










Breslau
Verlag von Wilhelm Koebner
1884
 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

§1.	В последнее время в математике заметно справедливое стремление к строгости доказательства и точному схватыванию понятия.
§2.	Наконец проверка должна распространиться и до понятия числа. Цель доказательства.
§3.	Философские мотивы для такого исследования: спорность вопроса о том, являются ли законы чисел аналитическими или синтетическими, априорными или апостериорными истинами. Смысл этих выражений.
§4.	Задача этой книги.

I. МНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ АВТОРОВ О ПРИРОДЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ 
ПРЕДЛОЖЕНИЙ

ДОКАЗУЕМЫ ЛИ ЧИСЛОВЫ ФОРМУЛЫ?

§5.	Кант отрицает то, что Ханкель справедливо называет парадоксом.
§6.	Доказательство 2 + 2 = 4 у Лейбница содержит пробел. Определение Грассманом a + b ошибочно.
§7.	Мнение Милля о том, что определения отдельных чисел, из которых вытекает счёт, утверждают наблюдаемые факты, необоснованно.
§8.	Для оправдания этих определений не требуется наблюдения таких фактов.

ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ ИНДУКТИВНЫМИ ИСТИНАМИ?

§9.	Законы природы у Милля. Называя законами природы арифметические истины, Милль смешивает последние с их применением.
§10.	Доводы против того, что законы сложения являются индуктивными истинами: неоднородность чисел; в определениях мы ещё не обладаем множеством общих свойств чисел; напротив, вероятно, индукция основывается на арифметике.
§11.	Выражение Лейбница "врождена".

ЯВЛЯЮТСЯ ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ АПРИОРНО СИНТЕТИЧЕСКИМИ ИЛИ 
АНАЛИТИЧЕСКИМИ?

§12.	Кант. Бауман. Липшиц. Ханкель. Внутреннее созерцание как основание познания.
§13.	Различие арифметики и геометрии.
§14.	Сравнение истин в отношении управляемой ими области.
§15.	Воззрения Лейбница и Ст.Джевонса.
§16.	Милль, напротив, умаляет "искусное пользование словами". Знаки пусты не потому, что они не обозначают чего-то чувственно зримого.
§17.	Недостаточность индукции. Предположение о том, что законы чисел являются аналитическими; в чём тогда заключается их польза. Ценность аналитических суждений.

II. МНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ АВТОРОВ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА

§18.	Необходимость исследовать общее понятие числа.
§19.	Определение не может быть геометрическим.
§20.	Определимо ли число? Ханкель. Лейбниц.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО СВОЙСТВОМ ВНЕШНИХ ВЕЩЕЙ?
§21.	Мнения М.Кантора и Э.Шрёдера.
§22.	Мнение Баумана противоположно: Внешние вещи не представляют строгих единиц. По-видимому, число зависит от нашего понимания.
§23.	Мнение Милля о том, что число является свойством агломерата вещей, непрочно.
§24.	Обширная применимость числа. Милль. Локк. Бестелесная метафизическая фигура у Лейбница. Если число являлось бы чем-то чувственным, оно не могло бы быть присуще нечувственному.
§25.	Физическое различие между 2 и 3 у Милля. Согласно Беркли, число не есть реальное в вещах, но является созданием духа.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО ЧЕМ-ТО СУБЪЕКТИВНЫМ?

§26.	Описание числообразования у Липшица не подходит и не может заменить определение понятия. Число является не предметом психологии, но чем-то объективным.
§27.	Число не является представлением места объекта в ряду, как хочет Шлёмильх.

ЧИСЛО КАК МНОЖЕСТВО

§28.	Тома о придании имени.

III. МНЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ И ОДИН

§29.	Многозначность выражений "?????" и единица. Объяснение Э.Шрёдером единицы как подлежащего счёту предмета, по-видимому, бесцельно. Прилагательное "один" не содержит более близкого определения и не может служить в качестве предиката.
§30.	После попытки определения Лейбница и Баумана понятие единицы кажется совершенно расплывчатым.
§31.	Признак неделимости и отграниченности у Баумана. Идея единицы не даётся нам каждым объектом (Локк).
§32.	Язык всё же указывает на связь с неделимостью и отграниченностью, однако, при этом изменяется смысл.
§33.	Нераздельность (Г.Кёпп) - неустойчивый признак единицы.

РАВНЫ ЛИ ЕДИНИЦЫ ДРУГ ДРУГУ?

§34.	Равенство, как основание имени "единица". Э.Шрёдер. Гоббс. Юм. Тома. Понятие числа не возникает абстрагированием от различия вещей, и благодаря ему вещи не становятся равными.
§35.	Если речь должна идти о множественности, различие даже необходимо. Декарт. Э.Шрёдер. Ст.Джевонс.
§36.	Точка зрения на различие единиц также наталкивается на затруднения. Различие однёрок у Ст.Джевонса.
§37.	Объяснение числа с точки зрения единицы или однёрки у Локка, Лейбница и Хессе.
§38.	"Однёрка" является собственным именем, "единица" - понятийным словом. Число нельзя определить в качестве единиц. Различие "и" и +.
§39.	Трудность, примирить равенство единиц с их различимостью, скрыта многозначностью слова "единица".

ПОПЫТКИ ПРЕОДОЛЕТЬ ЗАТРУДНЕНИЕ

§40.	Пространство и время как средство различия. Гоббс. Тома. Противоположная точка зрения: Лейбниц, Бауман, Ст.Джевонс.
§41.	Цель не достигается.
§42.	Место в ряду как средство различия. Полагание у Ханкеля.
§43.	Замещение предметов знаками 1 у Шрёдера.
§44.	Джевонс об отвлечении от характера различия с удержанием его просто как факта. 0 и 1 являются числами, как и все остальные. Затруднение остаётся.

РЕШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЯ

§45.	Ретроспективный взгляд.
§46.	Указание на число содержит высказывание о понятии. Возражение, что у неизменного понятия число изменяется.
§47.	Фактичность указания на число объясняется объективностью понятия.
§48.	Разрешение некоторых затруднений.
§49.	Подтверждение у Спинозы.
§50.	Пояснение Э.Шрёдера.
§51.	Исправление этого пояснения.
§52.	Подтверждение, взятое из немецкого словоупотребления.
§53.	Различие между признаками и свойствами понятия. Существование и число.
§54.	Единицей можно назвать субъект указания на число. Нераздельность и отграниченность единицы. Равенство и различимость.

IV. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА

КАЖДОЕ ОТДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТОМ.

§55.	Попытка дополнить лейбницевские определения отдельных чисел.
§56.	Пробные определения бесполезны, поскольку они объясняют высказывание, в котором число есть только составная часть.
§57.	Указание на число следует рассматривать как равенство чисел.
§58.	Возражение, связанное с непредставимостью числа как самостоятельного предмета. Число вообще не представимо.
§59.	Предмет не исключается из исследования в результате того, что он непредставим.
§60.	Даже конкретная вещь не всегда представима. Слово, когда спрашивается о его значении, необходимо рассматривать в предложении.
§61.	Возражение, связанное с непространственностью числа. Не каждый объективный предмет является пространственным.

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА, НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ СМЫСЛ 
РАВЕНСТВА ЧИСЕЛ.

§62.	Нам нужен критерий равенства чисел.
§63.	Возможность однозначного соотнесения как такой критерий. Логическое сомнение, что равенство в данном случае объясняется особым образом.
§64.	Примеры сходной процедуры: направление прямой, положение плоскости, контуры треугольника.
§65.	Попытка определения. Второе сомнение: соблюдаются ли законы равенства.
§66.	Третье сомнение: признак равенства недостаточен.
§67.	Дополнение нельзя получить тем, что к признаку понятия добавляется способ, которым вводится предмет.
§68.	Число как объём понятия.
§69.	Комментарий.

ДОПОЛНЕНИЕ И ПРОВЕРКА НАШЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§70.	Понятие отношения.
§71.	Отношение как средство соотнесения.
§72.	Взаимно однозначное отношение. Понятие числа.
§73.	Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если существует отношение, которое взаимно однозначно соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами подпадающими под G.
§74.	Ноль - это число, соответствующее понятию "неравное себе".
§75.	Ноль - это число, соответствующее понятию, под которое не подпадает ничего. Ни один предмет не подпадает под понятие, если ноль есть соответствующее ему число.
§76.	Объяснение выражения "В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m".
§77.	1 - это число, соответствующее понятию "равное 0".
§78.	Предложения, доказываемые посредством наших определений.
§79.	Определение следования в ряду.
§80.	Замечание к предыдущему. Объективность следования.
§81.	Объяснение выражения "x принадлежит ?-ряду, оканчивающемуся на y".
§82.	Набросок доказательства того, что не существует конечного члена натурального ряда чисел.
§83.	Определение конечного числа. Ни одно конечное число не следует в натуральном ряду чисел за самим собой.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛА

§84.	Число, соответствующее понятию "конечное число", является бесконечным.
§85.	Бесконечные числа Кантора; "мощность". Различия в терминологии.
§86.	Следование в последовательности у Кантора и моё следование в ряду.

V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§87.	Природа арифметических законов.
§88.	Недооценка аналитических суждений Кантом.
§89.	Предложение Канта: "Без чувственности нам не был бы дан предмет". Заслуги Канта перед математикой.
§90.	Для полного доказательства аналитической природы арифметических законов не достаёт цепи выводов, лишённой пробелов.
§91.	Помочь этому недостатку может мой шрифт понятий.

ДРУГИЕ ЧИСЛА

§92.	Смысл вопроса о возможности чисел по Ханкелю.
§93.	Числа не являются ни пространственными, внешними нам, ни субъективными.
§94.	Отсутствие противоречия в понятии не гарантирует, что под него нечто подпадает, и само требует доказательства.
§95.	(c - b) не может безоговорочно рассматриваться как знак, решающий задачу на вычитание.
§96.		Математик не может также создать нечто произвольное.
§97.		Понятия следует отличать от предметов.
§98.		Объяснение сложения Ханкелем.
§99.		Недостаточность формальной теории.
§100.	Попытка обосновать комплексные числа расширением значения умножения особым способом.
§101.	Возможность такого обоснования не равносильно доказательству.
§102.	Голое требование, что операция должна выполняться, не является его исполнением.
§103.	Объяснение комплексных чисел Коссаком есть лишь руководство к определению и не избегает вмешательства чуждого. Геометрическое изображение