е точки зрения, что число прилагается понятиям, можно найти в немецком словоупотреблении. Так говорят zehn Mann, vier Mark, drei Fass. Здесь единственное число может указывать на то, что подразумевается понятие, а не вещь. Преимущество этого способа выражения особо проявляется при числе 0. Кроме того, язык, конечно, прилагает число предметам, а не понятиям: "число бочек" говорится так же, как "вес бочек". Таким образом, речь на первый взгляд идёт о предметах, тогда как на самом деле нечто хотят высказать о понятии. Такое словоупотребление запутано. Выражение "четыре породистых коня" вызывает видимость, как если бы "четыре" ближе определяло понятие "породистый конь" подобно тому, как "породистый" ближе определяет понятие "конь". Однако "породистый" есть только некоторый признак; словом же "четыре" мы нечто высказываем о понятии.
    §53. Под свойствами, которые высказываются о понятии, я понимаю не признаки, составляющие понятие. Последние суть свойства вещей, подпадающих под понятие, а не понятия. Так, "прямоугольность" не является свойством понятия "прямоугольный треугольник"; однако предложение, что не существует прямоугольного, прямолинейного, равностороннего треугольника, высказывает свойство понятия "прямоугольный, прямолинейный, равносторонний треугольник"; последнему прилагается число 0.
    В этом отношении существование имеет сходство с числом. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль. Поскольку существование есть свойство понятия, онтологическое доказательство существования Бога не достигает своей цели. Однако единственность является признаком понятия "Бог" в столь же малой степени, как и существование. Единственность не может использоваться в определении данного понятия, так же как прочность, вместительность, удобства дома не могут применяться при его строительстве наряду с камнями, строительным раствором и брёвнами. Однако отсюда не следует делать общий вывод, что из понятия, т.е. из его признаков нельзя вывести, что нечто является свойством понятия. При определённых обстоятельствах это возможно, как по виду строительного камня иногда можно сделать вывод о долговечности постройки. Стало быть, утверждение, что от признаков понятия никогда нельзя заключить к единственности или существованию, было бы слишком сильным; только это никогда не может происходить так же непосредственно, как приписывание в качестве свойства предмету, подпадающему под понятия, признака этого понятия.
    Ложным было бы также отрицать, что существование и единственность когда-либо могут быть признаками понятий. Они лишь не являются признаками тех понятий, которым их можно приписать, следуя языку. Если, например, все понятия, под которые подпадает только один предмет, собрать под одним понятием, то единственность была бы признаком этого понятия. Под него, например, подпадало бы понятие "луна Земли", но не называемое так небесное тело. Таким образом, понятие можно подвести под более высокое, так сказать, понятие второго порядка. Однако это отношение нельзя смешивать с отношением подчинения.
    §54. Теперь становится возможным удовлетворительное объяснение единицы. Э.Шрёдер на стр.7 своего уже упоминавшегося учебника говорит: "Такое родовое имя или понятие будет называться наименованием числа, образованного заданным способом, и составлять сущность его единицы".
    Действительно, разве не самым подходящим было бы при ссылке на число, соответствующее понятию, называть последнее единицей? Тогда мы сможем придать смысл высказыванию о единице, что она обособлена от окружения и является нераздельной. Тогда понятие, которому прилагается число, определённым способом в общем отграничивает то, что под него подпадает. Понятие "буква слова Zahl" отграничивает Z от a, а от h и т.д. Понятие "слог слова Zahl" понимает это слово как целое и нераздельное в том смысле, что более нет никаких частей, подпадающих под понятие "слог слова Zahl". Не со всеми понятиями дело обстоит так. Например, мы можем то, что подпадает под понятие красного, разделить разнообразными способами, без того чтобы получившееся части перестали под него подпадать. Такому понятию не соответствует конечное число. Предложение об отграниченности и нераздельности единицы можно, следовательно, выразить так:
    Единица при ссылке на конечное число может быть лишь таким понятием, которое определённо отграничивает то, что под него подпадает, и не допускает никакого разделения.
    Видно, однако, что нераздельность имеет здесь особое значение.
    Теперь мы легко ответим на вопрос, каким образом равенство единиц примеримо с их различимостью. Слово "единица" используется здесь в двояком смысле. Равными единицы являются в объяснённом выше значении данного слова. В предложении: "Юпитер имеет четыре луны" единицей является "луна Юпитера". Под это понятие подпадает как I, так и II, так и III, так и IV. Стало быть, можно сказать, что единица, относящаяся к I, равно единице, относящейся к II и т.д. Здесь у нас есть равенство. Если, однако, утверждается различимость единиц, то под этим понимается различимость пересчитываемых вещей.

VI. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА

КАЖДОЕ ОТДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТОМ.

    (55. После того, как мы узнали, что указание на число содержит высказывание о понятии, мы можем попытаться дополнить лейбницевские определения отдельных чисел определением 0 и 1.
    В первую очередь попытаемся объяснить следующее: Понятию соответствует число 0, когда под него не подпадает ни один предмет. Но здесь, как кажется, на место 0 можно подставить равнозначное "не"; поэтому предпочтительнее выглядит следующая формулировка: понятию соответствует число 0, если при любом a, предложение, что а не подпадает под это понятие, имеет всеобщее значение.
    Сходным образом можно сказать: Понятию F соответствует число 1, если при любом а, предложение, что а не подпадает под F, не имеет всеобщего значения, и если из предложений 
"а подпадает под F" и "b подпадает под F"
всегда следует, что а и b суть одно и то же.
    Остаётся ещё дать общее объяснение переходу от некоторого числа к последующему. Испробуем следующую формулировку: Понятию F соответствует число (n + 1), если существует предмет а, подпадающий под F, причём понятию "подпадающий под F, но не а" соответствует число n.
    (56. После наших предшествующих результатов эти объяснения представляются столь естественными, что потребуется изложить, почему их нам может недоставать.
    Прежде всего сомнение вызывает последнее определение; ибо взятый в точном значении смысл выражения "понятию G соответствует число n" нам также не известен, как и смысл выражения "понятию F соответствует число (n + 1)". Конечно, мы можем при помощи данного и предпоследнего объяснения сказать, что означает 
"Понятию F соответствует число 1 + 1",
и затем, используя это, задать смысл выражения
"Понятию F соответствует число 1 + 1 + 1"
и т.д.; но мы никогда не сможем, - если взять грубый пример - посредством наших определений решить, соответствует ли понятию число Юлий Цезарь или является числом этот знаменитый покоритель галлов или же нет. Кроме того, мы не можем с помощью наших предварительных объяснений доказать, что если понятию F соответствует число а, и этому же понятию соответствует число b, то должно быть а = b. Стало быть, выражение "число, соответствующее понятию F" оправдать нельзя и, как следствие, равенство чисел доказать невозможно, поскольку мы вовсе не смогли схватить какого-то определённого числа. Только кажется, что мы объяснили 0 и 1; на самом же деле мы лишь зафиксировали смысл речевых оборотов
"число 0 соответствует",
"число 1 соответствует";
но это не позволяет различить в них 0 и 1 как самостоятельные, отождествляемые предметы.
    (57. Здесь как раз уместно уделить более тщательное внимание нашему выражению, что указание на число содержит высказывание о понятии. В предложении "Понятию F соответствует число 0", если мы рассматриваем понятие F как реальный субъект, 0 является только частью предиката. Поэтому я избегаю называть числа, типа 0,1,2, свойствами понятия. Отдельное число выглядит именно как самостоятельный предмет благодаря тому, что оно образует только часть высказывания. Выше я уже уделял внимание тому, что говорят "(die) 1" и благодаря определённому артиклю 1 изображает собой предмет. Эта самостоятельность повсеместно обнаруживается в арифметике, например, в равенстве 1 + 1 = 2. Поскольку здесь мы стремимся схватить понятие числа так, чтобы оно было пригодно в науке, нас не должно беспокоить, что в обычном языке жизни число также проявляется атрибутивно. Последнего всегда можно избежать. Например, предложение "Юпитер имеет четыре луны" может быть преобразовано в "Число лун Юпитера есть четыре". Здесь "есть" не должно рассматриваться в качестве простой связки, как в предположении "Небо есть голубое". Последнее обнаруживается в том, что можно сказать: "Число лун Юпитера есть четыре" или "есть число 4". Здесь "есть" имеет смысл "есть равное", "есть то же самое, как и". Стало быть, у нас есть равенство, утверждающее, что выражение "число лун Юпитера" обозначает тот же самый предмет, как и слово "четыре". В арифметике форма равенства является господствующей. Это соображение не оспоришь тем, что в слове "четыре" не содержится ничего о Юпитере или о луне. И в имени "Колумб" нет ничего об открытии или об Америке, и всё же и Колумбом, и открывателем Америки называют одного и того же человека.
    (58. Могут возразить, что о предмете, который мы называем четыре или числом лун Юпитера, как о чём-то самостоятельном, мы вовсе не можем составить представления90. Но в этом неповинна самостоятельность, приданная нами числу. Правда легко поверить, что в представление о четырёх глазках на игральной кости входит нечто соответствующее слову "четыре"; но это заблуждение. Помыслите (eine) зелёный луг и попробуйте, изменится ли представление, если неопределённый артикль заменить числительным "один". Ничего сверх того не происходит, в то время как слову "зелёный" в представлении всё-таки нечто соответствует. Если представляют напечатанное слово "медь", при этом никакого числа непосредственно не мыслят. Если же задаются вопросом, из скольких букв оно состоит, то получается число 4; но представление благодаря этому не становится чем-то более определённым, а может оставаться совершенно неизменным. Понятие "буквы слова медь", добавленное сверх того, и есть как раз то, где мы обнаружили число. У глазков на игральной кости дело несколько скрыто, так как понятие удостоверяет себя нам сходством глазков столь непосредственно, что мы едва замечаем его вмешательство. Число нельзя представить ни как самостоятельный предмет, ни как свойство внешней вещи, так как оно не является ни чем-то чувственным, ни свойством внешней вещи. С числом 0 дело наиболее ясно. Тщетно пытаться представить себе 0 видимых звёзд. Можно, правда, представить небо совершенно затянутым облаками; но здесь нет ничего, что соответствовало бы слову "звезда" или 0. Представляют только ситуацию, которой может способствовать суждение: сейчас не видно ни одной звезды.
    (59. Каждое слово может быть и вызывает в нас какое-нибудь представление, даже такое как "только"; но оно не обязательно соответствует содержанию слова; у разных  людей представление может быть совершенно различным. И потом, представляется, пожалуй, вся ситуация, вызванная предложением, в которое входит это слово; или случается, что произнесённое слово вызывает в памяти написанное.
    Последнее относится не только к отдельным частям речи. Пожалуй, не подлежит никакому сомнению, что у нас нет никакого представления о нашем расстоянии до Солнца. Так как, даже если нам известно правило, как часто мы должны умножать масштаб, то нам всё равно не удаётся никакой попытки согласно этому правилу сконструировать образ, который тоже лишь до некоторой степени приближался бы к желаемому. Однако это не основание сомневаться в правильности расчётов, посредством которых устанавливается расстояние, и ни коим образом не препятствует нам на существовании этого расстояния основывать дальнейшие выводы.
    (60. Даже такую конкретную вещь, как Земля, мы не в состоянии представить такой, какой, как мы знаем, она является; вместо этого, мы довольствуемся шаром среднего размера, который считается нами знаком Земли; однако нам известно, что одно весьма отлично от другого. Итак, хотя наше представление часто совершенно не отвечает желаемому, мы всё-таки судим с большой уверенностью о таком предмете, как Земля, даже когда рассматривается её размер.
    Очень часто мышление выводит нас за рамки представимого, и при этом не утрачивается основание наших выводов. Даже если, как кажется, человеческое мышление невозможно без представлений, то его связь с тем, что имеется в виду, всё-таки может быть совершенно внешней, произвольной, конвенциальной.
    Стало быть, непредставимость содержания слова не является основанием лишить его всякого значения или исключить из обихода. Противоположный взгляд, вероятно, возникает вследствие того, что мы рассматриваем слова изолированно, а потом, спрашиваем об их значении, за которое затем принимаем представление. Таким образом, кажется, что слово, которому недостаёт соответствующего внутреннего образа, не имеет содержания. Необходимо, однако, всегда учитывать полное предложение. Только в нём слова обладают подлинным значением. Внутренний образ, который при этом как бы витает, не обязательно соответствует логически составной части суждения. Достаточно, если предложение имеет смысл как целое; благодаря этому своё содержание получают также и его части.
    Мне кажется, это замечание пригодится для того, чтобы пролить свет и на иные трудные понятия, типа понятия бесконечно малых91, и его радиус действия, пожалуй, не ограничивается математикой.
    Самостоятельность, которой я воспользовался для числа, не должна означать, что числительное что-то обозначает вне контекста предложения, но этим я хотел только исключить его употребление в качестве предиката или атрибута, благодаря чему, несколько изменяется его значение.
    (61. Однако быть может, на это возразят, что даже если Земля и на самом деле непредставима, она всё-таки является внешней вещью, занимающей определённое место; но где находится число 4? Его нет ни вне нас, ни в нас. В пространственном смысле последнее понимается правильно. Определение местонахождения числа 4 не имеет смысла; но отсюда вытекает только то, что оно не является пространственным предметом, а не то, что его вообще нет. Не каждый предмет находится где-то. Так же и наши представления92 в этом смысле находятся не в нас (под кожей). Там находятся нервные узлы, кровяные тельца и тому подобное, но не представления. К ним не применимы пространственные предикаты: одно представление не находится ни справа, ни слева от другого; в миллиметрах нельзя указать расстояния, отделяющие представления друг от друга. Если мы все-таки говорим, что они в нас, то этим хотим обозначить их как субъективные.
    Но хотя субъективное и не обладает местом, как возможно, чтобы объективное число 4 нигде не находилось? Итак, я утверждаю, что в этом вовсе нет противоречия. Оно действительно в точности одно и то же для каждого, кто имеет с ним дело; но это не связано с пространственностью. Не каждый объективный предмет обладает местом.
    
ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА, НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ 
СМЫСЛ РАВЕНСТВА ЧИСЕЛ.

    (62. Каким образом нам может быть дано число, если мы не в состоянии обладать его представлением или созерцанием? Слова обозначают нечто только в контексте предложения. Стало быть, всё идёт к тому, чтобы объяснить смысл предложения, в которое входит числительное. Прежде всего, в этом всё ещё остаётся много произвольного. Но мы уже установили, что под числительными следует понимать самостоятельные предметы. С этим нам дана разновидность предложений, которые должны обладать смыслом, предложений, которые выражают отождествление. Если знак должен обозначать для нас предмет, то мы должны обладать критерием, который всюду решал бы, является ли b тем же самым, что и а, даже если не всегда в наших силах установить, применим ли этот критерий. В нашем случае мы должны объяснить смысл предложения:
"Число, соответствующее понятию F, является тем же самым, как и то, что соответствует 
понятию G";
т.е. мы должны воспроизвести содержание этого предложения другим способом, не используя выражения
"число, соответствующее понятию F".
Этим мы зададим общий критерий равенства чисел. После того, как таким образом мы приобретём средство схватывать определённое число и отождествлять его, как одно и то же, мы можем придать ему числительное в качестве собственного имени.
    (63.Такое средство называл уже Юм: "Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаём их равными"93. В новейшее время среди математиков94, кажется, многократный отклик встретило мнение, что равенство чисел должно определяться с помощью однозначного соотнесения. Но сразу же возникают логические сомнения и затруднения, мимо которых мы не имеем права пройти без проверки.
    Отношение равенства встречается не только среди чисел. Отсюда, по-видимому, следует, что оно должно быть определено не только для данного случая. Можно было бы подумать, что понятие равенства установлено уже заранее, и что затем из него и понятия числа должно получаться то, когда одно число равно другому, без того, чтобы сверх этого иметь надобность ещё в особом определении.
    В противовес этому нужно заметить, что для нас понятие числа ещё не установлено, но прежде должно быть определено при помощи нашего объяснения. Наше намерение - образовать содержание суждения, которое могло бы пониматься как равенство, так, чтобы каждая сторона этого равенства являлась числом. Мы, стало быть, хотим объяснить равенство не для данного случая, но при помощи уже известного понятия равенства, получить то, что рассматривается как равное. Конечно, это кажется весьма необычным видом определения, которому логики ещё не уделяли достаточного внимания; но то, что он не так уж и не слыхан, можно показать на нескольких примерах.
    (64. Суждение: "Прямая а параллельна прямой b", в знаках:
а // b
также может пониматься как равенство. Если мы так поступаем, то получаем понятие направления и говорим: "Направление прямой а равно направлению прямой b". Таким образом, мы заменили знак // на более общий =, тем, что распределили особое содержание первого между а и b. Мы расчленили содержание иначе, нежели изначальный способ и, благодаря этому, получили новое понятие. Конечно, часто дело воспринимается наоборот, и многие руководства определяют: Параллельные прямые суть те, что имеют равное направление. Предложение: "Когда две прямые параллельны третей, то они параллельны друг другу" можно тогда очень удобно доказать ссылкой на предложение о равенстве, гласящем нечто подобное. Жаль только, что при этом истинное положение дел ставиться на голову! Так, всё геометрическое, пожалуй, всё же должно первоначально созерцаться. Теперь я спрашиваю, каждый ли обладает созерцанием направления прямой. Что касается прямой, пожалуй! Но различают ли в созерцании этой прямой ещё и её направление? Вряд ли! Это понятие прежде открывается посредством умственной деятельности, привязанной к созерцанию. Зато представлением параллельных прямых обладают. Упомянутое доказательство проходит только благодаря предвосхищению основания, тем что, употребляя слово "направление" предполагают доказываемое; ибо, если предположение: "Когда две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу" было бы неверным, то а // b нельзя было бы превратить в равенство.
    Подобным образом из параллелизма плоскостей можно получить понятие, соответствующее понятию направления у прямых. Для этого я подобрал имя "положение". Из геометрического сходства образуется понятие контуров, так что, например, вместо "Оба треугольника сходны" говорят: "Оба треугольника имеют равные контуры", или "Контуры одного треугольника рав