свойства внешних вещей. Напрашивается вопрос, должны ли точно также пониматься отдельные числа и можно ли, соответственно этому, сопоставить понятие числа, скажем, с понятием цвета.
    Таково, по-видимому, мнение М.Кантора44, когда он называет математику опытной наукой, поскольку она берёт своё начало с рассмотрения объектов внешнего мира. Числа возникают только посредством абстрагирования от предметов.
    По Э.Шрёдеру45 число копирует действительность, извлекается из неё, тем что единицы отображаются посредством однёрок. Это он называет абстрагированием числа. При таком отображении единицы представлены только в отношении их многочисленности, в то время как от всех других определений вещей, таких как цвет и очертания, отказываются. Многочисленность здесь есть лишь другое выражение для числа. Многочисленность или число Шрёдер также ставит на один уровень с цветом и очертаниями и трактует его как свойство вещей.
    §22. Бауман46 отвергает мысль, что числа суть понятия, отвлечённые от внешних вещей, именно потому, "что внешние вещи не представляются строгими единицами; они представляются ограниченными группами или чувственными точками, но мы свободны вновь рассматривать каждую из них как многое". В самом деле, в то время как я ничуть ни в состоянии изменить простым способом схватывания цвет вещи или её твёрдость, я могу понимать Илиаду как одну поэму, как 24 песни или как большое число строф. Разве не в совершенно ином смысле, чем о зелёных листьях, говорится о 1000 листьях дерева? Зелёный цвет мы прилагаем каждому листу, но не так с числом 1000. Мы можем охватить все листья дерева под названием листва. Она также является зелёной, но не 1000. С чем же собственно соотносится свойство 1000? Кажется почти наверняка ни с отдельными листьями, ни с их совокупностью. Но, собственно говоря, может быть, оно вовсе не соотносится с вещами внешнего мира? Если я даю кому-нибудь камень со словами: "Определи его вес", то этим я полностью задал предмет его исследования. Но если я вручаю ему колоду игральных карт со словами: "Определи, их число", то ему не известно, хочу ли я узнать число карт, игровой комплект, или, скажем, очки при игре в скат. Вручая ему колоду, я ещё не полностью задал ему предмет его исследования; я должен добавить слово: карты, комплект, очки. Нельзя также сказать, что различные числа сосуществуют здесь друг с другом подобно различным цветам. Без использования слов я могу указать на отдельное цветовое пятно, но не на отдельное число. Если с одинаковым правом я могу назвать предмет и зелёным, и красным, то это знак того, что данный предмет не является настоящим носителем зелёного. Зелёное я имею только на поверхности, которая теперь является зелёной. Так и предмет, который я могу с одинаковым правом описать различными числами, не является настоящим носителем числа.
    Существенное различие между цветом и числом, таким образом, состоит в том, что синий цвет принадлежит поверхности независимо от нашего произвола. Синий цвет - это способность отражать определённые лучи света и более или менее поглощать другие, и в этом наше восприятие не может изменить даже самую малость. Зато я не могу сказать, что число 1, 100 или какое-то другое принадлежит колоде карт самой по себе, но самое большее могу сослаться на наш произвольный способ восприятия, и даже тогда не так, что мы можем приписать ей число просто как предикат. То, что мы хотим назвать игровым комплектом, есть, очевидно, произвольное установление, и колоде карт ничего об этом не известно. Но, рассматривая её в этом отношении, мы, быть может, обнаружим, что можно назвать её двумя игровыми комплектами. Тот, кому не известно, что называется игровым комплектом, найдёт, вероятно, в ней скорее какое-то другое число, нежели именно два.
    §23. На вопрос, чему число принадлежит как свойство, Милль отвечает так47: 
    "Созначение числового наименования заключается конечно в том или другом свойстве того агломерата вещей, которому мы придаём такое наименование и свойством этим служит тот особый способ, каким данный агломерат сложен из своих частей (и может быть на них разложен)".
    Здесь ошибкой, прежде всего, является определённый артикль в выражении "(the) особый способ", поскольку существуют весьма различные способы, которыми можно разложить агломерат, и нельзя сказать, что особым было бы один единственный. Например, пучок соломы можно разложить, разорвав все соломинки, или разделив его на отдельные соломинки, или образовав из него два пучка. Разве кучка из ста песчинок составлена точно так же, как пучок из ста соломинок? И всё же используется одно и то же число. Числительное "одна" в выражении "одна соломинка" не выражает, как эта соломинка составлена из клеток или молекул. Ещё большее затруднение с числом 0. Разве соломинки должны вообще образовывать пучок, чтобы быть сосчитанными? Необходимо ли слепых в Германии непременно объединить в сообщество, с тем, чтобы выражение "число слепых в Германии" имело смысл? Разве тысяча зёрен пшеницы после того, как она была посеяна, больше не является тысячью зёрен? Разве существует в собственном смысле агломерат доказательств теорем или событий? И всё же их также можно сосчитать. При этом безразлично, одновременны события или же разделены тысячелетиями.
    §24. С этим мы приходим к другому основанию не сопоставлять число с цветом и твёрдостью, применимость которого гораздо обширнее.
    По мнению Милля48, истина, что состоящее из частей, состоит и из частей этих частей, действительна для всех естественных феноменов, поскольку со всеми ними можно проводить вычисления. Но разве нельзя проводить вычисления с гораздо большим? Локк говорит49: "Число приложимо к людям, ангелам, действиям, мыслям, ко всему, что существует или что можно представлять себе". Лейбниц50 отвергает мнение схоластов, что число неприменимо к бестелесным вещам, и называет число в некотором смысле бестелесной фигурой, происходящей из объединения каких угодно вещей (например: Бог, ангел, человек, движение вместе суть четыре). Поэтому, по его мнению, число есть нечто совершенно общее и относится к метафизике. В другом месте51 он говорит: "Но есть такие вещи, которые нельзя взвесить, т.е. которые не обладают никакой силой и потенцией; есть и такие, которые не имеют частей и поэтому не допускают измерения. А ведь нет ничего такого, что не допускало бы выражения через число. Следовательно, число есть как бы метафизическая фигура".
    Было бы в самом деле удивительно, если бы свойство, абстрагированное от внешних вещей, без изменения смысла могло переносится на события, представления, понятия. Эффект был бы тот же, как если бы намеревались говорить о плавких событиях, синих представлениях, солёных понятиях и вязких суждениях.
    Нелепо, чтобы то, что по своей природе чувственно, встречалось в нечувственном. Если мы видим синюю поверхность, то у нас есть своеобразное впечатление, соответствующее слову "синий"; мы узнаём его снова, если наблюдаем другую синюю поверхность. Если же мы хотим предположить, что таким же способом при взгляде на треугольник слову "три" соответствует нечто чувственное, то это же самое мы должны вновь обнаружить в трёх понятиях; нечто нечувственное несло бы в себе нечто чувственное. Пожалуй, можно согласиться, что слову "треугольность" соответствует разновидность чувственного впечатления, но при этом нужно принимать данное слово как целое. Три мы видим тут не непосредственно; но мы видим нечто такое, к чему можно привязать умственную деятельность, ведущую к суждению, в котором встречается число 3. Как же тогда мы знакомимся, скажем, с числом фигур силлогизма, установленного Аристотелем? Разве с помощью глаз? Самое большее мы видим определённые знаки для фигур силлогизма, а не их сами. Как же мы можем увидеть их число, если сами они остаются невидимыми? Но, пожалуй, имеют в виду, что достаточно видеть знаки; их число равно числу фигур силлогизма. Тогда откуда это известно? Для этого последнее всё-таки уже должно быть определено другим способом. Или же предложение "Число фигур силлогизма есть четыре" является только другим выражением для "Число знаков фигур силлогизма есть четыре"? Нет! О знаках можно ничего не говорить; никто ничего не желает знать о знаках, если их свойство одновременно не выражает свойство обозначаемого. Здесь без логической ошибки одно и то же может иметь различные знаки; числу знаков даже не нужно совпадать с числом обозначаемого.
    §25. В то время как для Милля число есть нечто физическое, для Локка и Лейбница оно существует только в идее. В самом деле, как говорит Милль52, два яблока физически отличаются от трёх яблок, а две лошади физически отличаются от одной лошади из-за различия в видимом и осязаемом феномене53. Но должно ли из этого выводить, что двойка или тройка есть нечто физическое? Пара сапог может быть таким же видимым и осязаемым феноменом, как два сапога. Здесь мы имеем числовое различие, которому не соответствует физическое, поскольку два и одна пара отнюдь не одно и то же, как по странному стечению обстоятельств, по-видимому, считает Милль. Наконец, каким образом возможно, чтобы два понятия физически отличались от трёх понятий?
    Беркли говорит так54: "Следует принять во внимание, что число ... не есть нечто определённое и установленное, существующее реально в самих вещах. Оно есть всецело создание духа, рассматривающего или простую идею саму по себе, или какую-либо комбинацию простых идей, которой даётся одно имя и которая таким образом сходит за единицу. Соответственно различным способам, коими дух комбинирует свои идеи, изменяется также и число, которое есть только совокупность единиц. Мы считаем окно за единицу и печь за единицу; однако и дом, в котором много окон и много печей, имеет такое же право называться единицей; множество же домов составляют один город".
    
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО ЧЕМ-ТО СУБЪЕКТИВНЫМ?

    §26. Развивая мысль в этом направлении, легко прийти к тому, чтобы считать число чем-то субъективным. Кажется, что способ, которым число возникает в нас, может разъяснить его сущность. Следовательно, тогда всё зависело бы от психологического исследования. В этом смысле, пожалуй, высказывается Липшиц55:
    "Тот, кто хочет составить обзор каких-то вещей, будет начинать с определённой вещи и постепенно добавлять новую вещь к предыдущим".
    По-видимому, это больше подходит к тому, как мы получаем, скажем, созерцание созвездия, чем к числообразованию. Намерение составить обзор несущественно, поскольку едва ли можно сказать, что стадо стало обозримее, если установлено, из скольких голов оно состоит.
    Такое описание внутренних процессов, предшествующих вынесению суждения о числе, никогда не может, даже если оно и является соответствующим, заменить подлинное определение понятия. Его никогда нельзя привлечь к доказательству арифметических предложений; посредством него мы не узнаем никакого свойства числа. Потому что число является предметом психологии или результатом психических процессов столь же мало, как, скажем, Северное море. Объективности Северного моря не наносится ущерба тем, что от нашего произвола зависит, какую часть водной поверхности Земли мы отграничиваем и хотим закрепить под именем "Северное море". Последнее не основание стремится исследовать это море психологическими способами. Таким образом, и число тоже есть нечто объективное. Если говорят: "Северное море имеет величину 10.000 квадратных миль", то ни посредством "Северное море", ни посредством "10.000" не указывают на состояние или процесс внутри себя, но утверждают нечто вполне объективное, независимое от наших представлений и т.п. Если же мы в другой раз обозначим границы Северного моря как-то иначе или захотим нечто другое понимать под "10.000", то то же самое содержание, которое прежде было правильным, не станет ложным; но, пожалуй, на место истинного содержания подставлено ложное, из-за чего истинность этого первого никоим образом не упраздняется.
    Указывая число лепестков цветка, ботаник хочет сказать нечто столь же фактическое, как если он указывает его цвет. Одно столь же мало зависит от нашего произвола, как и другое. Здесь, следовательно, есть определённое сходство между числом и цветом; но оно состоит не в том, что и то, и другое чувственно воспринимаемо во внешних вещах, но в том, что и то, и другое являются объективными.
    Я отличаю объективное от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр массы Солнечной системы являются объективными, но я не могу назвать их действительными, как саму Землю. Экватор часто называют мысленной линией, но было бы ложным назвать его выдуманной линией; он не является результатом душевного процесса, возникшим посредством мысли, но лишь познаётся, схватывается посредством мысли. Если бы становление познанным означало возникновение, то мы не могли бы высказать о нём ничего позитивного при ссылке на время, которое предшествует этому якобы возникновению.
    Пространство, согласно Канту, относится к явлениям. Возможно, что другим разумным существам оно представляется совершенно иначе, чем нам. Ведь нам даже не известно, видится ли оно одним человеком так, как оно видится другим, поскольку мы не можем соположить созерцание пространства одним с созерцанием пространства другим, для того чтобы их сравнить. Но, тем не менее, здесь содержится нечто объективное; все познают одни и те же геометрические аксиомы, пусть даже только на деле, и должны поступать так, чтобы ориентироваться в мире. Объективным здесь является то, что закономерно, понятийно, выразимо суждением, что может быть выражено в словах. Чистое созерцаемое не передаваемо. Для пояснения, предположим наличие двух разумных существ, для которых созерцаемыми являются только проективные свойства и отношения: расположение трёх точек на прямой, четырёх точек на плоскости и т.д.; и пусть одному из них плоскостью кажется то, что другой созерцает как точку, и наоборот. То, что для одного из них является линеарным соединением точек, для другого может быть сечением плоскостей и т.д. с постоянно соответствующей двойственностью. Тогда они весьма хорошо могли бы понимать друг друга и никогда бы не обнаружили различие своих созерцаний, поскольку в проективной геометрии каждой теореме противостоит другая, двойственная; отклонения же в эстетическом предпочтении признак не надёжный. В отношении всех геометрических теорем они были бы полностью согласны; по-разному они лишь переводили бы слова в своё созерцание. Скажем, со словом "точка" один связывал бы одно, а другой - другое созерцание. Всё-таки можно сказать, что их слово означает нечто объективное; только не нужно под этим значением понимать особенное в их созерцании. И в этом смысле земная ось также является объективной.
    Обычно под "белый" мыслят определённое ощущение, которое, разумеется, является вполне субъективным; но уже в обыкновенном словоупотреблении, мне кажется, часто выступает объективный смысл. Если снег называют белым, то хотят выразить объективное свойство, которое распознаётся определённым ощущением при обычном дневном свете. Если он расцвечен освещением, то это учитывают при вынесении суждения, возможно говоря: "Сейчас он кажется красным, но является белым". Также и дальтоник может говорить о красном и зелёном, хотя он не различает их в ощущении. Он узнаёт о различии из того, что его проводят другие, или, возможно, посредством физического опыта. Таким образом, слово для цвета часто обозначает не наше субъективное ощущение, о котором мы не можем знать, что оно совпадает с ощущением другого - ибо никоим образом не ручаемся за одинаковое название - но объективное качество. Итак, под объективным я понимаю то, что независимо от нашего ощущения, созерцания и представления, от проектирования внутренних образов из воспоминания предшествующих ощущений, но не независимость от разума; ибо ответить на вопрос, что представляют собой вещи независимо от разума, значит вынести суждение, не вынося суждение, войти в воду, не замочив ног.
    §27. Поэтому я не могу согласиться со Шлёмильхом56, который называет число представлением места объекта в ряду57. Если бы число было представлением, то арифметика была бы психологией. Таковой она является столь же мало, как, скажем, астрономия. Как последняя имеет дело не с представлениями планет, но с ними самими, так же и предметом арифметики не являются представления. Если бы двойка была представлением, то она, прежде всего, было бы только моей. Представление другого человека уже как таковое является другим. Тогда, пожалуй, мы имели бы много миллионов двоек. Нужно было бы сказать: моя двойка, твоя двойка, какая-то двойка, все двойки. Если предполагать скрытые или неосознанные представления, то тогда были бы также и неосознанные двойки, которые осознавались бы позже. С подрастающими поколениями всегда возникали бы новые двойки, и кто знает, не изменились ли бы они в течение тысячелетий так, чтобы 2 ? 2 = 5. Несмотря на это всё ещё сомнительно, имеется ли бесконечно много чисел, как обычно думают. Ведь могло бы быть и так, чтобы 1010 являлось лишь пустым знаком, и не имелось бы вовсе никакого представления (в каком-нибудь существе), которое могло бы быть так названо.
    Мы видим, к каким диковинам приводит развёртывание мысли, что число является представлением. И мы приходим к выводу, что число не является ни пространственным и физическим, как груда булыжников и орехов у Милля, ни также субъективным, как представления, но является нечувственным и объективным. Ведь основание объективного не может лежат в чувственном впечатлении, которое в качестве аффектации нашей души является совершенно субъективным, но, насколько я вижу, лежит в разуме.
    Было бы удивительно, если бы самая точная наука вынуждена была бы опираться на ещё неточную, продвигающуюся ощупью психологию.
    
ЧИСЛО КАК МНОЖЕСТВО.
    
    §28. Отдельные авторы объясняют число как множество, многое или множественность. Недостаток здесь в том, что числа 0 и 1 исключаются из данного понятия. Эти выражения довольно неопределённы: то они более близки по значению к "куче", "группе", "агломерату" (причём мыслятся в пространственной связи), то используются почти равнозначно с "числом", только неопределённым. Поэтому, в таком объяснении нельзя найти расклад понятия числа. Для образования числа Тома58 требует, чтобы различным множествам объектов придавались различные имена. Под этим, очевидно, для каждого множества объектов подразумевается чёткое определение, для которого придание имени есть лишь внешний знак. Ну и каким же способом осуществляется это определение? Вот в чём вопрос. Очевидно, что идея числа не возникла бы, если для "3 звезды", "3 пальца", "7 звёзд" хотели бы ввести имена, у которых не были бы видны общие элементы. Дело здесь не в придании имени вообще, но в том, чтобы само собой указывалось, что число в этом есть. А для этого необходимо, чтобы число познавалось в своей особенности.
    Должно принять во внимание ещё и следующее различие. Некоторые называют число множеством вещей или предметов; другие, как уже Евклид59, объясняют его как множество единиц. Последнее выражение требует отдельного обсуждения.

III. МНЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ И ОДИН.

ВЫРАЖАЕТ ЛИ ЧИСЛИТЕЛЬНОЕ "ОДИН" СВОЙСТВО ПРЕДМЕТОВ?
    
    §29. В определении, которое Евклид даёт вначале 7 книги Элементов, кажется, что словом "?????" он указывает то на подлежащий счёту предмет, то на свойство такого предмета, то на число один. Всегда обходятся переводом "единица", но лишь постольку, поскольку данное слово само переливается в этих различных значениях.
    Шрёдер говорит60: "Каждая из подлежащих счёту вещей называется единицей". Спрашивается, почему вещь прежде подводят под понятие единица, а не объясняют просто: "Число есть множество вещей", что вновь вернуло бы нас к предыдущему. В том, что вещь называют единицей, быть может, прежде всего хотят найти более точное определение, в то время как следуя языковой форме "один" принимают за прилагательное и понимают "один город" так же, как "мудрый человек". Тогда единица была бы предметом, которому присуще свойство "один", и