метике мы занимаемся предметами, которые не как нечто чуждое известны нам извне через посредничество чувств, но которые даны непосредственно разуму, который может рассматривать их в совершенстве как то, что ему наиболее свойственно134.
    И всё-таки, или скорее как раз поэтому, эти предметы не являются субъективными фантазиями. Нет ничего более объективного, чем арифметические законы.
    §106. Бросим ещё один краткий ретроспективный взгляд на ход нашего исследования! После того, как мы установили, что число не является ни грудой вещей, ни свойством последних, что оно, однако, также не является субъективным продуктом душевных процессов, но что указание на число высказывает нечто объективное о понятии, мы, прежде всего, попытались определить отдельные числа 0, 1 и т.д. и прогресс в числовом ряду. Первая попытка не удалась, поскольку мы определили только высказывание о понятии, но не обособили 0 и 1, которые являются лишь его частями. Последнее имеет следствием то, что мы не можем доказать равенство чисел. Обнаруживается, что число, которым занимается арифметика, должно пониматься не как несамостоятельный атрибут, но субстантивно135. Таким образом, число проявляется как отождествляемый предмет, хотя и не как физический или даже пространственный, не как предмет, образ которого мы можем спроектировать посредством силы воображения. Мы устанавливаем теперь принцип, что значение слова нужно объяснять не в его обособленности, но в контексте предложения; следуя одному этому, как я думаю, можно избежать физического понимания числа без того, чтобы впасть в психологизм. Существует только один вид предложений, которые должны иметь смысл для каждого предмета, предложения отождествления, называемые в случае чисел равенствами. Мы видели, что и указание на число также понимается как равенство. Стало быть, всё зависит от того, чтобы установить смысл равенства чисел и выразить его без использования числительных или слова "число". Как содержание суждения отождествляющего числа мы осознаём возможность взаимно однозначного соотнесения предметов, подпадающих под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G. Стало быть, наше определение должно представить эту возможность, как равнозначную с равенством чисел. Мы напомнили сходный случай: определение направленности при параллелизме, контуров при подобие и т.д.
    §107. Тогда возникает вопрос: когда считать, что содержание понимается как суждение отождествления? Для этого должно выполняться условие, чтобы в каждом суждении без ущерба для его истинности левую сторону уравнения, рассматриваемого в качестве примера, можно было заменить на правую. Теперь, прежде всего, без установления дальнейших определений о левой и правой стороне такого уравнения нам не известно более никакого суждения, кроме именно их равенства. Стало быть, в уравнении нужно только указать на заменимость.
    Но всё ещё остаётся сомнение. А именно, предложение отождествления всегда должно иметь смысл. Если мы под равенством понимаем лишь возможность взаимно однозначного соотнесения предметов, подпадающих под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G, говоря при этом: "Число, которое соответствует понятию F, равно числу, которое соответствует понятию G", и вводя этим выражение "Число, которое соответствует понятию F", то у нас есть смысл для равенства только тогда, когда обе стороны имеют как раз упомянутые формы. Согласно данному определению, если только одна сторона имеет такую форму, мы не можем утверждать, является ли уравнение истинным или ложным. Это побуждает нас к определению:
    Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия "понятие, равночисленное понятию F", где понятие F мы называем равночисленным понятию G, если имеет место возможность взаимно однозначного соответствия.
    При этом смысл выражения "объём понятия" мы предполагаем известным. Этот способ преодоления затруднения, пожалуй, не всюду найдёт одобрение, и многие предпочтут устранять эти сомнения другими способами. Также и я не придаю решающего значения привлечению объёмов понятий.
    §108. В остальном, остаётся лишь объяснить взаимно однозначное соответствие; последнее мы сводим к чисто логическим обстоятельствам. Теперь, после того как мы указали доказательство предложения: "Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если понятие F равночисленно понятию G", мы определили 0, выражение "n следует в натуральном ряду чисел непосредственно за m", число 1 и показали, что 1 следует в натуральном ряду чисел непосредственно за 0. Мы привели отдельные предложения, которые в этом месте легко могут быть доказаны, и тогда подошли несколько ближе к следующему предложению, которое позволило бы узнать о бесконечности числового ряда:
    В натуральном ряду чисел за каждым числом следует число.
    Это привело нас к понятию "принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n", о котором мы хотели показать, что соответствующее ему число в натуральном ряду чисел непосредственно следует за n. Мы определили его, прежде всего, с помощью следования предмета y за предметом х в общем -ряду. Смысл этого выражения также был сведён к чисто логическим обстоятельствам. Посредством этого удалось доказать, что способ вывода от n к (n+1), который обычно принимался за собственно математический, покоится на общих логических способах вывода.
    Теперь для доказательства бесконечности числового ряда нам нужно предложение, что никакое конечное число в натуральном ряду чисел не следует за самим собой. Так мы пришли к понятиям конечного и бесконечного числа. Мы показали, что последнее в сущности логически оправданно не менее, чем первое. Для сравнения были привлечены бесконечные числа Кантора и их "следование в последовательности", причём было указано на различия в выражениях.
    §109. Теперь из всего предыдущего с большой вероятностью получалось, что природа арифметических истин является аналитической и априорной; и нам удалось исправить точку зрения Канта. Далее мы увидели, что чего-то всё ещё недостаёт, чтобы привести эту вероятность к очевидности, и указали путь, который должен к этому привести.
    Наконец, мы использовали наши результаты для критики формальной теории отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных чисел, посредством которой стала очевидной её недостаточность. Её ошибку мы увидели в том, что она предполагает, что отсутствие противоречия в понятии доказано, если противоречие не обнаружено, и что отсутствие противоречия в понятии уже достаточно гарантирует его наполненность. Эта теория воображает, что нужно лишь установить требования; их выполнение подразумевается само собой. Она ведёт себя как Бог, который посредством голого слова может сотворить то, что ему нужно. Достойно порицания также и то, когда руководство к определению принимается за само определение, руководство, следуя которому, в арифметику вводится нечто чуждое; правда, само оно свободно от претензий на выражение, но лишь постольку, поскольку остаётся простым руководством.
    Таким образом, эта формальная теория  оказывается в опасности возвратиться к апостериорному или же синтетическому, сколько бы она не создавала видимости того, что витает в вышине абстракций.
    Наше прежнее рассмотрение положительных целых чисел демонстрирует теперь возможность избежать вмешательства внешних вещей и геометрического созерцания, без того чтобы впасть в ошибку данной формальной теории. Всё зависит от того, как здесь установить суждение отождествления. Если это вообще произойдёт, как думаем мы, то отрицательные, дробные, иррациональные и комплексные числа окажутся не более таинственными, чем положительные целые числа, которые реальны, действительны и явны не в большей степени, чем те.

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
     
     Для уточнения характера работы переводчика приведём несколько соображений в пользу особенностей перевода отдельных ключевых терминов.
     Во-первых: Для передачи понятия числа Г.Фреге использует два термина Zahl и Anzahl. Anzahl мы переводим как 'число' и, за редким исключением, не отличаем от Zahl по двум причинам: 1) термин Anzahl обычно употребляется для обозначения кардинального числа, тогда как Zahl - для числа вообще, но у Фреге речь в основном идёт о кардинальных числах; 2) на протяжении всего текста эти два термина практически не различаются и используются как синонимы. Там, где в особых случаях такое различие всё же обнаруживается, мы переводим Anzahl как 'кардинальное число'.
     Во-вторых: Устанавливая природу математических предложений, Г. Фреге использует термин Gleichung ('уравнение'), но понимает его в том смысле, который в большей степени соответствует русскому слову 'равенство', поскольку под уравнением в отечественной математической терминологии понимается выражение с неизвестными. Поэтому в нашем переводе этот термин, за редким исключением, передаётся как равенство. 
     В-третьих: В некоторых случаях, для того чтобы отличить числительное от существительного там, где не исключена возможность эквивокаций, мы переводим der Eins несколько непривычным, но всё же допустимым в русском языке субстантивом 'однёрка'. Слово 'единица' зарезервировано как наиболее соответсвующее по смыслу, для передачи термина Einheit.
     В-четвёртых: Соотношение числа и понятия Фреге передаёт термином zukommen. Мы переводим его как 'соответствовать', а не как 'принадлежать' или 'быть присущим', что принято в некоторых интерпретациях творчества немецкого логика на русском языке. Терминами 'принадлежать' и 'быть присущим' в отечественной логической литературе принято обозначать отношения между объемом понятия и предметом, подпадающим под это понятие (при переводе данные термины как раз и используются в этом смысле). Поскольку Фреге имеет в виду отношение иного рода, мы выбрали указанный вариант, чтобы избежать смешения.
     В-пятых: Одна из специфических черт аргументации Г.Фреге - это апелляция к способам употребления артиклей. Поскольку для немецкого логика доводы такого рода имеют определяющее значение, мы не стали заменять артикли оборотами, так как в некоторых случаях это привело бы к искажению смысла. Поэтому там, где необходимо, мы указываем их в скобках.
    
    
1 Фреге Г. Шрифт понятий //Методы логических исследований. Тбилиси: Мецниереба, 1987. С 83-151.
2 Frege G. Grundgesetz der Arithmetik, Bd.1.Jena,1893;Bd.2.Jena,1902.
3 В сокращённой и свободной от технических деталей форме основные идеи этой работы можно найти в книге: Рассел Б. Введение в математическую философию. М.: Гнозис, 1996.
4 Herbart, S(mmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd.X, 1 Thl. Umriss p(dagogischer Vorlesungen §252, Anm.2: "Двойка означает не две вещи, но удвоение" и т.д.
5 K.Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, z. Aufl. §94.
6 Stricker, Studien (ber Association der Vorstellungen. Wien 1883.
7 ["Мера должна быть во всём и всему, наконец, есть пределы!" (Гораций)]
8 E.Schroder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
9 [Фреге использует здесь термин Anzahl. Мы переводим его как число и далее не отличаем от Zahl по двум причинам: во-первых, Anzahl - термин, употребимый  для кардинального числа, тогда как Zahl - для числа вообще, но у Фреге в основном речь идёт только о кардинальных числах; во-вторых, на протяжении всего текста эти два термина практически не различаются и используются как синонимы. Там, где в редких случаях такое различие всё же обнаруживается, мы переводим Anzahl как кардинальное число.]

10 Этим я в действительности не вкладываю новый смысл, но только трактую то, что имели в виду другие авторы, особенно Кант.
11 Если вообще признаются общие истины, то должно также добавить, что существуют и такие первичные законы, потому что из сугубо единичных фактов не следует ничего, разве что только на основании законов. Сама индукция основывается на общем предложении, что данный метод может мотивировать истину или же видимость истины закона. При отрицании этого индукция становится не более чем психологической иллюзией, способом, которым люди приходят к убеждению в истинности предложения без того, чтобы благодаря этому данное убеждение было как-нибудь обосновано.
12 Итак, в нижеследующем, если нет никаких оговорок, речь не идёт о каких-то других числах, кроме положительных целых чисел, отвечающих на вопрос "сколько?".
13 Гоббс, Локк, Ньютон. Ср. Baumann, die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik, S.241-242, S.365ff., S.475. [Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе.- М.: изд.АНСССР, 1948.- С.17.; Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.- М.: Мысль, 1985.- С.74-76.]
14 Kritik der reinen Vernunft herausgeg. v. Hartenstein. III. S.157. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3.- М.: Чоро, 1994.- С.175. (В переводе Н.Лосского.)]
15 H.Hankel, Vorlesungen (ber die complexen Zahlen und ihren Functionen.
16 Nouveaux Essais, IV. §10. Erdm.S.363. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2.- М.: Мысль, 1983.- С.422.]
17 Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S.94. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3.- М.: Мысль,1984.- С.632.]
18 H.Grassmann, Lehrbuch der Mathematik f(r h(here Lehranstalten. I Theil: Arithmetik, Steettin 1860, S.4.
19 Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной.- М.: изд. Г.А.Лемана, 1914.- Кн.III, Гл. xxiv, §5. [На протяжении всей работы Фреге ссылается на немецкий перевод: System der deductiven und inductiven Logik, ubersetzt von J.Schiel; в нашем переводе цитаты будут приводиться по указанному русскому изданию.]
20 Там же, Кн.II, Гл.vi, §2.
21 Там же, Кн.II, Гл.vi, §2, С.230.
22 Там же, Кн.II, Гл.vi, §2, С.230.
23 Там же, Кн.III, Гл.xxiv, §5.
24 Там же, Кн.III, Гл.xxiv, §5, С.558.
25 Там же, Кн.II, Гл.vi, §3.
26 Baumann, Op.cit., II., S.39; Erdm. S.243. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2..., С.156.]
27 Baumann, Op.cit., Bd. II. S.13-14; Erdm. S.195, S.208-209. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2... С.78.]
28 Baumann, Op.cit., Bd. II., S.38; Erdm. S.212. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2 ... С.87.]
29 Op.cit., Bd.II, S.669.
30 Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bd.I., S.1.
31 Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, S.54-55.
32 [Общих понятий - лат.]
33 [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.8.- М.: Чоро, 1994.- С.346.]
34 [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3 ... С.62.]
35 Baumann, Op.cit., Bd.II., S.56; Erdm. S.424.
36 Baumann, Op.cit., Bd.II., S.57; Erdm. S.83. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3. ... С.496.]
37 Baumann, Op.cit., Bd.II., S.57; Pertz, II., S.55.
38 Джевонс Ст. Основы науки.- С.-Пб.: изд. Л.Ф.Пантелеева, 1881.- С.152. [Фреге на всём протяжении текста цитирует второе английское издание книги Ст.Джевонса: The principles of science, London 1879, в нашем переводе все цитаты будут приводится по указанному русскому изданию.]
39 Там же, Кн.II, Гл. vi, §2, С.227.
40 Nouveaux Essais, IV, §9; Erdm. S.360. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2 ... С.420.]
41 Поразительно, что уже Милль (Там же, Кн.II, Гл.vi, §4), по-видимому, выражает эту точку зрения. Присущий ему здравый смысл время от времени пробивается через его предубеждение в пользу эмпирического. Однако последнее всегда всё вновь запутывает, смешивая у него физическое применение арифметики с самой арифметикой. Ему, видимо, неизвестно, что гипотетическое суждение может быть истинным тогда, когда условие истинным не является.
42 Baumann, Op.cit., Bd.I, S.475. [Ньютон И. Всеобщая арифметика... С.8.]
43 Theorie der complexen Zahlensysteme, S.1.
44 M.Cantor, Grundz(ge einer Elementarmathematik, S.2, §4.
45 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz.1873, S.6, 10-11.
46 Op.cit., Bd.II, S.669.
47 Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5, С.556.
48 Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.
49 Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.- М.: Мысль, 1985.- С.255.]
50 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.56.
51 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3 ..., С.412.]
52 Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.
53 Если быть точным, необходимо добавить: когда они вообще являются феноменом. Ведь если у кого-то в Германии есть одна лошадь, а в Америке - другая (и никаких других нет), то он, конечно, владеет двумя лошадьми. Однако они не образуют феномен, но так можно назвать только каждую лошадь саму по себе.
54 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.428. [Беркли Дж. Сочинения.- М.: Мысль, 1978.- С.102.]
55 Lehrbuch der Analysis, S.1. Я полагаю, что Липшиц имеет в виду внутренний процесс.
56 Schloemilch, Handbuch der algebraischen Analysis, S.1.
57 Против этого можно также возразить, что когда появляется одно и то же число, тогда должно появляться одно и то же представление места, что, очевидно, ложно. Это следствие не соответствовало бы действительности и в том случае, если под представлением он хотел бы понимать объективную идею; ибо тогда не было бы никакого различия между представлением места и самим местом.
  Представление в субъективном смысле есть то, что относится к психологическому закону ассоциации; оно имеет чувственный, образный характер. Представление в объективном смысле принадлежит логике и является сущностно нечувственным, хотя слово, обозначающее объективное представление, часто также сопровождается субъективным представлением, которое, однако, не является его значением. По достоверным сведениям, субъективное представление часто различается у разных людей, объективное же у всех одинаково. Объективные представления подразделяются на предметы и понятия. Чтобы избежать путаницы, я буду использовать "представление" только в субъективном смысле. Вследствие того, что Кант этим словом ссылался и на то, и на другое, он придал своему учению более субъективную, идеалистическую окраску и затруднил знакомство со своим настоящим мнением. Проводимое здесь различие столь же оправдано, как и различие между психологией и логикой. Следовало бы и последние всегда разделять очень строго!
58 Thomae, Elementare Theorie der analytischen Functionen, S.1. 
59 В начале 7 книги Элементов: "????? ????, ???' ?? ??????? ??? ????? ?? ???????. ??????? ?? ?? ?? ??????? ??????????? ??????". ["Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым. Число же - множество составленное из единиц." - Начала Евклида, Кн.VII-X.- М.: ГИТТЛ, 1949.- С.9.]
60 Op.cit., S.5.
61 Встречаются обороты, которые этому по видимости противоречат, но при более тщательном рассмотрении обнаруживается, что добавлено понятийное слово или что "один" используется не как числительное, что хотят утверждать не единичность, но единственность.
62 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2; Erdm. S.8.
63 Op.cit., Bd.II, S.669.
64 Op.cit., Bd.II, S.669.
65 Baumann, Op.cit., Bd.1, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 ..., С.180.]
66 Об истории слова "единица" ср. Eucken, Geschichte der philosophischen Terminologie, S.122-3, S.136, S.220.
67 G.Kopp, Schularithmetik, Eisenach 1867, S.5,6.
68 Op.cit., S.5.
69 Baumann, Op.cit, Bd.I, S.242.
70 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.568. [Юм Д. Сочинения в двух томах, т.2.- М.: Мысль, 1996.- С.141.]
71 Op.cit., S.I.
72 Baumann, Op.cit., Bd.I, S.103. [Декарт Р. Сочинения в двух томах, т.1.- М.: Мысль, 1989.- С.338.]
73 Op.cit., S.3.
74 Там же, С. 153.
75 Там же, С. 154.
76 Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409-411. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 ..., С.257.]
77 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.3.
78 Hesse, Vier Species, S.2.
79 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.242
80 Elementare Theorie der analyt. Functionen, S.1.
81 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2.
82 Baumann, Op.cit., Bd.II, S.668.
83 Там же, С.154.
84 Theorie der complexen Zahlensysteme, S.1.
85 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S.5 ff.
86 Подлежащих счёту предметов.
87 Там же, С.155.
88  Baumann, Op.cit., Bd..I, S.169. [Спиноза Б. Избранные произведения в двух томах, т.2.- М.: ГИПЛ, 1957.- С.567.]
89  Op.cit., S.6.
90 "Представления" в смысле чего-то такого, что понимается как образ.
91 Дело в том, чтобы определить смысл равенства, типа
df(x) = g(x)dx,
а не в том, чтобы указать расстояние, о