ны контурам другого". Также и из коллинеарного сродства можно таким же образом получить понятие, для которого, пожалуй, всё ещё не достаёт названия.
    (65. Теперь, чтобы, например, от параллелизма95 перейти к понятию направления, мы испробуем следующее определение:
        Предложение
"Прямая а параллельна прямой b"
        равнозначно с
"Направление прямой а равно направлению прямой b".
    Это объяснение откланяется от привычного, поскольку оно, как кажется, устанавливает уже известное отношение равенства, тогда как на самом деле оно должно вводить выражение "направление прямой а", которое выглядит второстепенным. Отсюда вытекает второе сомнение, не впутают ли нас такие установления в противоречие с известными законами равенства. Каковы же эти законы? Как аналитические истины они могут развиваться из самого понятия. Так Лейбниц определяет:
        "Eadem sunt, quorum unum potest substiti alteri salva veritate"96.
Данное объяснение для равенства я принимаю. Говорят ли "равные" или, как Лейбниц, "одни и те же" значения не имеет. "Одни и те же" на самом деле кажется совершенно совпадающим с "равные", только выражающим то или иное отношение; но можно принять такую манеру речи, где это различие пропадёт (например, если вместо "Расстояния равны по длине" говорить: "Длина расстояний является равной" или "одной и той же", а вместо "Поверхности равны по цвету" говорить: "Цвет поверхностей является равным"). Таким образом, мы и употребляли это слово в вышеприведённых примерах. На самом же деле в общей заменимости содержаться вообще все законы равенства.
    Для оправдания нашей попытки определить направление прямой, мы должны, стало быть, указать, что 
направление а
всюду можно заменить на 
направление b,
если прямая а и прямая b параллельны. Последнее упрощается, прежде всего, благодаря тому, что о направлении прямой не известно никакого другого высказывания, кроме совпадения с направлением некой другой прямой. Стало быть, нам нужно в таком равенстве или содержании, включающем такие равенства в качестве составных частей97, лишь указать на заменимость. Все другие высказывания о направлениях должны быть прежде объяснены и для этих определений мы можем установить правило, что заменимость направления одной прямой на направление прямой, ей параллельной, должна сохраняться.
    (66. Но относительно нашей попытки определения возникает ещё и третье сомнение. В предложении
"(die) Направление а равно направлению b"
направление а выглядит как предмет98, и наши определения дают нам средство отождествления этого предмета, если бы он выступал в другом одеянии, скажем, как направление b. Но этого средства не достаточно для всех случаев. Сообразно с ним нельзя, к примеру, решить, являются ли Англия и направление оси Земли одним и тем же. Да простят нам этот кажущийся бессмысленным пример! Естественно, никто не смешивает Англию с направлением оси Земли; но это - не заслуга нашего объяснения. Последнее ничего не говорит о том, подтверждается предложение
"Направление а равно q" 
или же отрицается, если само q не дано в форме "направление b". Нам недостаёт понятия направления; если бы оно у нас имелось, мы могли бы это установить; если q - не направление, то наше предложение должно отрицаться; если q - направление, то решает прежнее объяснение. Итак, в первую очередь следует объяснить:
q является направлением, если существует прямая b, направлением которой является q.
Однако теперь ясно, что мы вращаемся по кругу. Чтобы это объяснение можно было применить в каждом случае, мы уже должны знать, подтверждается или отрицается предложение
"q равно направлению b".
    (67. Если хотят сказать, что q является направлением, когда оно вводится посредством определения, о котором говорилось выше, то способ, которым вводится предмет q, должен трактоваться как его свойство, чем он не является. Определение предмета как таковое собственно ничего о нём не утверждает, но устанавливает значение знака. После того, как это случилось, оно преобразуется в суждение, в котором речь идёт о предмете, но теперь оно уже более его не вводит и находится на одном уровне с другими высказываниями о нём. Если избирается этот ход, необходимо предполагать, что предмет можно задать лишь единственным способом; ибо, в противном случае, из того, что q не вводится посредством нашего определения, не следовало бы, что оно не может быть таким образом введено. Все равенства получались бы тогда из того, что то, что задано одним и тем же способом, должно признаваться за одно и то же. Но это так очевидно и так неплодотворно, что об этом не стоит и говорить. Отсюда в самом деле нельзя извлечь никакого следствия, которое отличалось бы от каждой посылки. Разносторонние и важные применения равенств, напротив, основываются на том, что нечто можно отождествить, несмотря на то, что это нечто задаётся различными способами.
    (68. Поскольку таким образом мы не можем получить точно ограниченного понятия направления и на том же самом основании точно ограниченного понятия числа, мы испробуем другой путь. Если прямая а параллельна прямой b, то объём понятия "прямая, параллельная прямой a" равен объёму понятия "прямая, параллельная прямой b"; и наоборот, если объём названных понятий равен, то а параллельна b. Стало быть, мы попробуем объяснить следующее:
        Направление прямой а есть объём понятия "параллельна прямой а";
        Контуры треугольника d есть объём понятия "подобен треугольнику d".
    Если мы хотим применить это к нашему случаю, то должны на место прямой или треугольника подставить понятие, а на место параллелизма или подобия - возможность взаимнооднозначного соотнесения предметов, подпадающих под одно и под другое понятие. Краткости ради, если имеется эта возможность, я буду называть понятие F и понятие G равночисленными, но должен просить, чтобы данное слово рассматривалось как произвольно выбранный способ обозначения, чьё значение заимствовано не языковым подбором, но данным установлением.
    Итак, я определяю:
        Число, соответствующее понятию F, есть объём99 понятия "равночисленно понятию F".
    (69. То, что это объяснение подходит, поначалу, пожалуй, едва ли очевидно. Разве под объёмом понятий не мыслится нечто иное? То, что под этим понимается, становится ясным из изначальных высказываний, которые можно сделать об объёмах понятий. Они следующие:
1.  равенство;
2.  что один шире, чем другой.
Итак, предложение:
Объём понятия "равночисленно понятию F" равен объёму понятия "равночисленно понятию G"
всегда истинно тогда и только тогда, когда и предложение
"Понятию F соответствует то же самое число, как и понятию G"
является истинным. Стало быть, здесь имеется полное согласие. Правда, не говорят, что одно число шире другого, в том смысле, в котором объём одного понятия шире, чем объём другого; однако не случается также и то, чтобы 
объём понятия "равночисленно понятию F"
был шире, чем
объём понятия "равночисленно понятию G";
но все понятия, равночисленные G, также равночисленны и F, таким же образом и наоборот, все понятия, равночисленные F, равночисленны G. Данное "шире" естественно не совпадает с "больше", которое встречается у чисел.
    Разумеется, все ещё допустим случай, когда объём понятия "равночисленно понятию F" более или менее широк, чем объём другого понятия, который тогда, согласно нашему объяснению, не может быть числом; и не принято называть число более или менее широким, чем объём понятия; но и тому, чтобы принять такую манеру речи - если бы подобное когда-нибудь произошло - также ничего не препятствует.
    
ДОПОЛНЕНИЕ И ПРОВЕРКА НАШЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
    
    (70. Определения оказываются пригодными благодаря их плодотворности. Те из них, которые с таким же успехом могут отсутствовать без того, чтобы в процедуре доказательства открывались пробелы, должны отбрасываться как совершенно ничего не стоящие.
    Мы, стало быть, следует попробовать, допустимо ли произвести из нашего объяснения числа, соответствующего понятию F, известное свойство чисел! Здесь мы довольствуемся самым простым.
    Для этого необходимо всё ещё как-то точнее схватить равночисленность. Мы объяснили её с помощью взаимнооднозначного соотнесения, и сейчас нужно изложить то, как я хочу понимать данное выражение, так как в этом легко можно предположить нечто созерцаемое.
    Рассмотрим следующий пример! Если официант хочет быть уверен, что он положил на стол ножей столько же, сколько тарелок, ему нет надобности считать каждый из них; если только он справа от каждой тарелки рядом положил нож, тогда каждый нож на столе находится рядом справа от тарелки. Тарелки и ножи взаимнооднозначно соотнесены друг с другом, и притом, в равном соотношении местоположений. Если мы в предложении
"а находится рядом справа от А"
для а и А мыслим подставленными всё новые и новые предметы, остающаяся при этом неизменной часть содержания составляет сущность отношения. Это следует обобщить!
    Обособив а и b в выразимом суждением содержании, в котором речь идёт о предмете а и предмете b, мы, таким образом, сохранили оставшееся понятие отношения, которое согласно этому двояким способом нуждается в дополнении. Если в предложении
"Земля по массе больше, чем Луна"
мы обособим "Земля", то сохраним понятие "по массе больше, чем Луна". Если мы, напротив, обособим предмет "Луна", то получим понятие "по массе меньше, чем Земля". Но если мы одновременно обособим и то, и другое, то обратно останемся с понятием отношения, которое само по себе одно имеет столь же мало смысла, как и обыкновенное понятие: оно всегда требует дополнения для выразимого суждением содержания. Но это может произойти различными способами; вместо Земля и Луна я могу, например, поставить Солнце и Земля и способствовать обособлению как раз благодаря этому.
    Отдельная пара соотнесённых предметов относится - можно сказать как субъекты - к понятию отношения, подобно тому, как отдельный предмет относится к понятию, под которое он подпадает. Субъект здесь является составным. Иногда, когда отношение обратимо, это к тому же выражается в языке, как в предложении "Пелей и Фетис были родителями Ахилла"100. В сравнении с последним содержание предложения "Земля больше, чем Луна" так преобразовать возможно не вполне, потому что "и" всегда указывает на определённую уравненность. Но это к делу не относится.
    Понятие отношения как простое, стало быть, принадлежит чистой логике. Здесь учитывается не особое содержание отношения, но только логическая форма. И чтобы о ней не утверждалось, истинность этого является аналитической и известной a priori. Для понятий отношения это имеет силу, как и для других.
    Подобно тому, как
"а подпадает под понятие F"
является общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а, так и 
"а находится в отношении ? к b"
можно считать общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а и предметом b.
    (71. Теперь, если каждый предмет, подпадающий под понятие F, находится в отношении ? к предмету, подпадающему под понятие G, и если к каждому предмету, подпадающему под G, в отношении ? находится предмет, подпадающий под F, то предметы, подпадающие под F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения ?.
    Всё ещё можно спросить, что означает выражение
"Каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении ? к предмету, подпадающему под G",
если предмет вовсе не подпадает под F. Под этим я понимаю:
Оба предложения
"а подпадает под F"
и
"а не находится в отношении ? к предмету, подпадающему под G",
не могут сосуществовать друг с другом, при любом значении а; тогда или первое, или второе, или оба являются ложными. Отсюда получается, что "каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении ? к предмету, подпадающему под G", потому как, если нет предмета подпадающего под F, тогда первое предложение
"а подпадает под F"
должно всегда отрицаться, при любом а.
    Также
"К каждому предмету, подпадающему под G, в отношении ? находится предмет, подпадающий под F"
означает, что оба предложения
"а подпадает под G"
и
"Предмет, подпадающий под F, не находится в отношении ? к а"
не могут сосуществовать друг с другом, при любом а.
    (72. Итак, мы видели, когда предметы, подпадающие под понятия F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения ?. Здесь это соотнесение должно быть взаимнооднозначным. Под этим я понимаю, что имеют силу оба следующих предложения:
1.  Если d находится в отношении ? к а, и если d находится в отношении ? к е, тогда а всегда есть одно и то же с e, при любых d, а и е;
2.  Если d находится в отношении ? к а, и если b находится в отношении ? к а, тогда d всегда есть одно и то же с b, при любых d, b и а.
    Этим мы свели взаимнооднозначное соотнесение к чисто логическим обстоятельствам и теперь можем дать следующее определение:
        Выражение
"Понятие F равночисленно понятию G"
равнозначно выражению
"Существует отношение ?, которое взаимнооднозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G".
Я повторю:
Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия "равночисленно понятию F",
и добавлю:
Выражение
"n есть число"
равнозначно выражению
"Существует понятие такое, что n есть соответствующее ему число".
    Понятие числа, таким образом, объяснено; но, по-видимому, само через себя, однако всё-таки без изъяна, поскольку  уже объяснено "число, соответствующее понятию F".
    (73. Теперь мы хотим сразу же показать, что число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если понятие F и понятие G равночисленны. Конечно, последнее звучит тавтологично, но это не так, ведь значение слова "равночисленно" получено не подбором, но из объяснения, данного выше.
    Согласно нашему определению необходимо показать, что если понятие F равночисленно понятию G, то объём понятия "равночисленно понятию F" такой же, как объём понятия "равночисленно понятию G". Другими словами, нужно доказать, что согласно этому предположению значение всеобщности имеют предложения:
Если понятие H равночисленно понятию F, то оно также равночисленно понятию G;
и
Если понятие Н равночисленно понятию G, то оно также равночисленно понятию F.
    Из первого предложения вытекает, что существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие G, если существует отношение ?, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие F, с предметом, подпадающим под понятие G, и если существует отношение ?, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие F. Следующее расположение букв сделало бы это наглядным:
Н ? F ? G.
    Фактически, такое отношение может быть задано; оно присутствует в содержании
"Существует предмет, к которому в отношении ? находится с и который находится в отношении ? к b", 
если мы обособим в нём с и b (рассматривая их как пункты отношения). Можно показать, что это отношение является взаимнооднозначным, и что оно соотносит предметы, подпадающие под понятие Н, с предметами, подпадающими под понятие G.
    Сходным образом может быть доказано и другое предложение101. Это указание, надеюсь, в достаточной степени позволило объяснить, что здесь мы не нуждались в том, чтобы заимствовать основание доказательства у созерцания, и что с нашими определениями можно что-то делать.
    (74. Теперь мы можем перейти к объяснению отдельных чисел.
    Поскольку под понятие "неравное себе" ничего не подпадает, я объясняю:
0 - это число, соответствующее понятию "не равное себе".
    Быть может, то, что я говорю здесь о понятии, сочтут шокирующим. Быть может, возразят, что в этом содержится противоречие, и упомянут старых знакомых, деревянное железо и круглый квадрат. Ныне я полагаю, что они вовсе не так плохи, как их подают. Правда от них нет никакой пользы; но они также не могут принести и вреда, если только не предполагать, что под них нечто подпадает; а при голом употреблении понятий этого всё же не происходит. То, что понятие содержит противоречие, не всегда очевидно до такой степени, что исследования не требуется; для исследования же понятие необходимо прежде иметь и трактовать логически так же, как и всё другое. Всё, что со стороны логики и для строгости доказательства можно требовать от понятия, это его точные границы, чтобы для каждого предмета было определено, подпадает он под него или нет. Этому требованию всецело удовлетворяют понятия, содержащие противоречия, типа "не равное себе"; ибо для каждого предмета известно, что он под таковое не подпадает102.
    Я использую слово "понятие" таким способом, чтобы 
"а подпадает под понятие"
представляло собой общую форму выразимого суждением содержания, в котором речь идёт о предмете а, и которое сохраняло бы выразимость суждением, независимо от того, что подставляется вместо а. И в этом смысле
"а подпадает под понятие "не равное себе""
равнозначно с
"а не равно себе"
или
"а не равно а".
    Я могу принять за определение 0 любое другое понятие, под которое ничего не подпадает. Но дело в том, что мне нужно выбрать такое понятие, которое может быть доказано чисто логически; и для этого "не равное себе" представляется удобным. Причём для "равное" я признаю приведённое выше объяснение Лейбница, являющееся чисто логическим.
    (75. Теперь с помощью прежних установлений должно быть возможным доказательство того, что каждое понятие, под которое ничего не подпадает, равночисленно с каждым понятием, под которое не подпадает ничего, и только с такими понятиями; отсюда следует, что 0 - это число, соответствующее такому понятию, и что предметы не подпадают под понятие, если соответствующее ему число есть 0.
    Если мы предполагаем, что ни один предмет не подпадает ни под понятие F, ни под понятие G, то нам, чтобы доказать равночисленность, необходимо отношение ?, для которого имеют силу предложения:
Каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении ? к каждому предмету, подпадающему под G; к каждому предмету, подпадающему под G, в отношении ? находится предмет, подпадающий под F.
После того, что прежде говорилось о значении этих выражений, каждое отношение, по нашему предположению выполняет эти условия, а, стало быть, также и равенство, которое сверх того является взаимнооднозначным; поскольку для него действительны оба требуемых выше для этого предложения.
    Если, напротив, под G подпадает предмет, например, а, в то время как под F не подпадает ни один, то друг с другом сосуществуют два предложения
"а подпадает под G"
и
"не подпадающий под F предмет находится к а в отношении ?"
для любого отношения ?, так как первое оправдывается первым предположением, а второе - вторым. Т.е., если предмет, подпадающий под F, не существует, то не существует также и такого предмета, который находится к а в каком-нибудь отношении. Стало быть, не существует отношения, которое согласно нашему объяснению соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами, подпадающими под G, и согласно этому, понятия F и G неравночисленны.
    (76. Теперь я хочу объяснить отношение, в котором находятся друг к другу по два смежных члена натурального ряда чисел. Предложение:
"Понятие F и подпадающий под него предмет х существуют таким способом, что n - это число, соответствующее понятию F, и что m - это число, соответствующее понятию "подпадающий под F, но не равный х""
равнозначно с 
" В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m".
    Я избегаю выражения "n - это (die) число, идущее следом за m", поскольку для оправдания определённого артикля прежде должны быть доказаны два предложения103. На том же самом основании я ещё не говорю здесь "n = m + 1"; так как благодаря знаку равенства (m + 1) также характеризуется как предмет.
    (77. Чтобы теперь перейти к числу 1, мы должны сразу же показать, что существует нечто такое, что в натуральном ряду чисел следует непосредственно за 0.
    Мы рассмотрим понятие - или, если угодно, предикат - "равно 0