"! Под него подпадает 0. Напротив, под понятие "равно 0, но не равно 0" не подпадает никакой предмет, так что 0 - это число, которое принадлежит данному понятию. Таким образом, у нас есть понятие "равно 0" и некий предмет 0, под него подпадающий; отсюда имеет силу следующее:
Число, соответствующее понятию "равно 0", равно числу, соответствующему понятию "равно 0";
0 - это число, соответствующее понятию "равно 0, но не равно 0".
    Стало быть, согласно нашему объяснению, число, соответствующее понятию "равно 0", в натуральном ряду чисел непосредственно следует за 0.
    Если теперь мы определяем:
1 - это число, соответствующее понятию "равное 0",
то данное предложение можно выразить так:
В натуральном ряду чисел 1 следует непосредственно за 0.
    Пожалуй, нелишне заметить, что определение 1, к его объективному оправданию, предполагалось вне наблюдаемого факта104; ибо в возможность определения легко впутать необходимость выполнения известных субъективных условий, а кроме них и то, что возбуждают в нас чувственные восприятия105. Оно всё равно может соответствовать, без того, чтобы производные предложения оставались бы априорными. К таковым условиям относится, например, то, чтобы кровь, - по крайней мере, насколько мы знаем, - в достаточном изобилии и подходящего качества циркулировала в мозге, но истинность нашего последнего предложения от этого не зависит; оно имеет место быть, даже если циркуляция прекращается; и даже если все разумные существа когда-нибудь одновременно впадут в зимнюю спячку, оно не будет упразднено на столь же долгое время, но останется совершенно незатронутым. Быть истинным для предложения как раз не означает быть мыслимым.
    (75. Здесь я предлагаю последовать нескольким предложениям, которые доказываются при помощи наших определений. Читатель легко увидит, как это можно осуществить.
1.  Если в натуральном ряду чисел а следует непосредственно за 0, то а = 1.
2.  Если 1 - это число, соответствующее понятию, то существует предмет, подпадающий под это понятие.
3.  Если 1 - это число, соответствующее понятию F, тогда, если предмет х подпадает под понятие F и если у подпадает под понятие F, то х = у; т.е. х есть одно и то же, что и у.
4.  Если под понятие F подпадает предмет, и если с тем, что х подпадает под понятие F и у подпадает под понятие F, всегда объединено х = у, то 1 - это число, соответствующее понятию F.
5.  Отношение m к n, устанавливаемое посредством предложения:
"В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m",
является взаимнооднозначным.
Здесь ещё ничто не говорит о том, что для каждого числа существует другое число, которое следует непосредственно за ним или за которым оно непосредственно следует в ряду чисел.
6.  В натуральном ряду чисел, каждое число, кроме 0, непосредственно следует за неким числом.
    (79. Для доказательства того, что в натуральном ряду чисел за каждым числом (n) непосредственно следует число, необходимо предъявить понятие, которому соответствует предыдущее число. В качестве такового мы выбираем:
" принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n",
что сразу требует объяснения.
    Прежде я воспроизведу другими словами определение последовательности в ряду, данное мной в "Шрифте понятий".
Предложение
"Если каждый предмет, к которому в отношении ? находится х, подпадает под понятие F, и если из того, что d подпадает под понятие F, при любом d, всегда следует, что каждый предмет, к которому d находится в отношении ?, подпадает под понятие F, то у подпадает под понятие F, каким бы ни было понятие F"
равнозначно с
"у следует в ?-ряду за х"
и с
"х идёт в ?-ряду за у".
    (80. К этому не лишними были бы несколько замечаний. Так как отношение ? остаётся неопределённым, то ряд необязательно мыслить в форме пространственного или временного расположения, хотя этот случай не исключается.
    Пожалуй, для большей естественности можно принять другое объяснение, к примеру: если, отправляясь от х, мы всегда переносим внимание с одного предмета на другой, к которому он находится в отношении ?, и если таким образом можно, наконец, достичь у, то говорят, что у следует за х в ?-ряду.
    Последнее помогает понять суть дела, а не определение. Достигнем ли мы у при смещении нашего внимания, может зависеть от разных сопутствующих субъективных обстоятельств, например, от находящегося в нашем распоряжении времени или от нашего знания вещей. Следует ли у за х в ?-ряду, не имеет ничего общего с нашим вниманием и с условиями его поступательного движения, но представляет собой нечто объективное; так же и зелёный лист отражает определённые световые лучи независимо от того, попадают они мне в глаза, вызывая ощущения, или же нет; так же крупицы соли растворимы в воде, независимо от того, бросаю я их в воду, наблюдая за этим процессом, или же нет, они растворимы даже в том случае, когда я вообще не имею возможности провести данный опыт.
    Благодаря моему объяснению суть дела переводится из области субъективных возможностей в область объективной определённости. В самом деле, то, что из одних предложений следует другое, есть нечто объективное, независящее от законов движения нашего внимания, и безразлично, осуществляем ли мы вывод на самом деле. Здесь у нас есть признак, который всегда разрешает данный вопрос там, где он может быть поставлен; и если этот признак наличествует, мы можем вынести суждение, даже если в отдельных случаях нам мешают внешние затруднения. Для сути дела это собственно безразлично. 
    Для уверенности, что предмет следует за неким членом, нам не всегда нужно просматривать все промежуточные члены от начального до данного предмета. Если, например, дано, что в ?-ряду b следует за а, а с следует за b, то мы можем согласно нашему объяснению заключить, что с следует за а, без того, чтобы знать промежуточные члены.
    Благодаря этому только и возможно определение следования в ряду, а способ вывода от n к (n + 1), который кажется свойственным математике, приводится к всеобщим логическим законам.
    (81. Если теперь как отношение ? у нас есть отношение, в котором m установлено к n предложением
"В натуральном ряду чисел n непосредственно следует за m",
то вместо "?-ряд" мы говорим "натуральный ряд чисел".
    Далее я определяю:
предложение
"у следует за х в ?-ряду, или же у есть то же самое, что и х"
равнозначно с
"у принадлежит ?-ряду, начинающемуся с х"
и с
"х принадлежит ?-ряду, оканчивающемуся на у".
    Согласно этому, а принадлежит натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n, если в натуральном ряду чисел n следует за а или равно а106.
    (82. Теперь следует показать, что - при уже заданном условии - число, соответствующее понятию
"принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n",
следует непосредственно за n  в натуральном ряду чисел. Благодаря этому тогда доказывается, что существует число, которое в натуральном ряду чисел следует непосредственно за n, и что не существует конечного члена данного ряда. Очевидно, что данное предложение нельзя установить эмпирическим способом или посредством индукции.
    Демонстрация здесь самого доказательства увела бы нас далеко. Можно только кратко указать его ход. Следует доказать:
1.  Если в ряду натуральных чисел а непосредственно следует за d, и если для d имеет силу то, что:
число, соответствующее понятию
"принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на d",
непосредственно следует за d в натуральном ряду чисел,
то для а также имеет силу:
число, соответствующее понятию
"принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на а",
непосредственно следует за а в натуральном ряду чисел.
    Во-вторых, следует доказать, что для 0 имеет силу то, что в только что приведённых предложениях говорилось о d и а, и затем вывести, что это также имеет силу и для n, если n  принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0. Данный способ вывода есть такое применение определения, переданное мной выражением
"у следует за х в натуральном ряду чисел",
что общие выражения о d и а следует принимать в качестве понятия F о 0 и n.
    (83. Чтобы доказать предложение (1) предыдущего (, мы должны показать, что а - это число, соответствующее понятию "принадлежащий натуральному ряду чисел, заканчивающемуся на а, но не равное а". А для этого вновь следует доказать, что данное понятие имеет объём, равный объёму понятия "принадлежащий натуральному ряду чисел, заканчивающемуся на d". Для этого требуется предложение о том, что предмет, принадлежащий натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0, не может в натуральном ряду чисел следовать за самим собой. Это также должно доказываться с помощью нашего определения последовательности в ряду, как указано выше107.
    Таким образом, это вынуждает нас к предложению, что число, соответствующее понятию
"принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n",
непосредственно следует за n  в натуральном ряду чисел, добавить условие, что n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0. Для этого употребителен более краткий способ выражения, который я теперь и объясняю:
Предложение
"n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0"
равнозначно с
"n есть конечное число".
    Тогда указанное предложение мы можем выразить так: конечное число в натуральном ряду чисел не следует за самим собой.
    
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛА

    (84. Конечным противостоят бесконечные числа. Число, соответствующее понятию "конечное число", является бесконечным. Обозначим его, скажем, так ?1! Если бы оно было конечным, то оно не могло бы следовать за самим собой в натуральном ряду чисел. Но можно показать, что с ?1 это происходит.
    В числе ?1, объяснённом таким образом, нет ничего сколько-нибудь таинственного или чудесного. "Число, соответствующее понятию F, есть ?1" означает не более и не менее чем: существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с конечными числами. После наших объяснений это имеет совершенно ясный и однозначный смысл; этого достаточно, чтобы оправдать употребление знака ?1 и обеспечить ему значение. То, что мы не можем образовать для себя никакого представления о бесконечном числе, совершенно не важно, это же относится и к конечным числам. Наше число ?1 обладает, таким образом, чем-то столь же определённым, как и любое конечное число: оно отождествляемо в качестве одного и того же, и, несомненно, отличается от любого другого.
    (85. Бесконечные числа не так давно ввёл Г.Кантор в своей замечательной работе108. Я всецело поддерживаю его в оценке мнения, которое за действительные вообще желает признавать только конечные числа. Чувственно воспринимаемыми и пространственными не являются ни они, ни дроби, ни отрицательные, ни иррациональные, ни комплексные числа; и если действительным называют то, что воздействует на чувства, или то, что как минимум имеет такое влияние, которое может иметь чувственное восприятие на приближённые или отдалённые последствия, то, конечно, эти числа не являются действительными. Но мы также вовсе не нуждаемся в таких восприятиях как основаниях доказательства наших теорем. Имя или знак, для введения которого нет логических возражений, мы можем безбоязненно использовать в наших исследованиях; таким образом, наше число ?1 столь же обоснованно, как два или три.
    Правда, утверждая о согласии с Кантором, я всё же несколько отступаю от него в терминологии. Моё число он называет "мощность", в то время как его понятие109 числа учитывает ссылку на упорядочивание. Конечные числа, разумеется, независимы от следования в ряду, иное дело бесконечно большие. Использование слова "число" и вопрос "сколько?" не содержат указания на определённое упорядочивание. Число у Кантора скорее отвечает на вопрос: "Какой член последовательности является крайним?" Поэтому, мне кажется, что моё название лучше согласуется со словоупотреблением. Если расширять значение слова, то следовало бы обратить внимание на то, чтобы возможно большее количество общих предложений сохраняло его значение и особенно таких основополагающих, которые устанавливают для чисел независимость от следования в ряду. Нам совершенно не было надобности в расширении, поскольку наше понятие числа сразу объемлет также и бесконечные числа.
    (86. Чтобы получить своё бесконечное число, Кантор вводит понятие отношения следования в последовательности, которое отклоняется от моего "следования в ряду". Согласно ему, например, последовательность возникает, если конечные, положительные целые числа располагаются таким образом, чтобы нечётные числа сами по себе в своей естественной очерёдности, а также чётные числа в своём следовании друг за другом, в дальнейшем устанавливались так, что каждое чётное число должно следовать за каждым нечётным. В этой последовательности, например, 0 следовал бы за 13. Но числа, непосредственно предшествующего 0, нет. Это как раз тот случай, который не может возникнуть при моём определении следования в ряду. Можно строго доказать без аксиомы, использующей созерцание, что если у следует за х в ?-ряду, существует предмет, который в этом ряду непосредственно предшествует у. Итак, мне кажется, что следованию в последовательности и числу у Кантора всё-таки недостаёт точных определений. Так, Кантор ссылается на какое-то таинственное "внутреннее созерцание", когда стремится добыть доказательство из определений, что, пожалуй, возможно. Ибо, я думаю, предвидимо, как можно было бы определить указанные понятия. Во всяком случае, посредством этих замечаний я совершенно не хочу подвергнуть нападкам их правомочность и плодотворность. Напротив, я приветствую в его исследованиях расширение науки, особенно потому, поскольку, благодаря им, всё более торным становится чисто арифметический путь к бесконечно большим числам (мощностям).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    
    §87. Надеюсь, в данном сочинении я сделал правдоподобным то, что арифметические законы являются аналитическими, а, следовательно, априорными суждениями. Сообразно этому, арифметика была бы лишь дальнейшим развитием логики, а каждое арифметическое предложение было бы логическим законом, хотя и производным. Применение арифметики к объяснению природы было бы логической обработкой наблюдаемых фактов110; счёт был бы выведением следствий. Законы чисел, чтобы быть применимыми к внешнему миру, не нуждаются, как полагает Бауман111, испытания практикой; ибо во внешнем мире, в совокупности пространственного нет понятий, нет свойств понятий, нет чисел. Стало быть, законы чисел собственно не применимы к внешним вещам; они не являются законами природы. Они не утверждают связь между естественными явлениями, но утверждают таковую между суждениями; а к последним принадлежат и законы природы.
    §88. Кант112 (вероятно, в результате более узкого определения понятия) недооценивал значение аналитических суждений, хотя, как кажется, ему чудилось более широкое понятие, которое используется здесь113. Если положить в основание его определение, деление суждений на аналитические и синтетические не является исчерпывающим. В данном случае он мыслит общеутвердительное суждение. Тогда, согласно определению, относительно понятия субъекта можно вести речь и спрашивать о том, содержится ли в нём понятие предиката. Но как быть, если субъект представляет собой единственный предмет, или если имеют дело с суждением о существовании? Тогда, в этом смысле и речи быть не может о понятии субъекта. Кант, по-видимому, думает определить понятие посредством заданных признаков; но такое образование понятий наименее продуктивно. Если мы окинем взглядом данные выше определения, то едва ли найдём образование понятий по этому способу. То же самое имеет силу и для действительно продуктивных определений в математике, например, непрерывности функции. Ведь у нас есть не ряд заданных признаков, но, я бы сказал, более интимная, более органичная связь определений. Различие можно сделать наглядным, используя геометрический образ. Если понятия (или их объёмы) изобразить на поверхности ограниченными областями, то понятиям, определённым посредством заданных признаков, соответствует область, для которой общими являются признаки всех областей; она окружена частями их границ. При таком определении, если говорить об образе, речь также идёт о том, чтобы уже заданные линии применить новым способом для ограничения области114. Но при этом не появляется ничего существенно нового. Более продуктивные определения понятий в том, чтобы указать линии границ, которые ещё совсем не были заданы. То, что из них можно вывести, обозревается не с самого начала; при этом не просто из сундука снова извлекается то, что там схоронилось. Такие выводы расширяют наше знание, а поэтому, их, следуя Канту, нужно считать синтетическими; и всё-таки их можно доказать чисто логически, и они к тому же аналитические. Действительно, они содержаться в определениях, но не как брёвна в доме, а как растения в семенах. Часто несколько определений используется для доказательства предложения, которое, таким образом, не содержится в них по отдельности и всё же вытекает из них всех в совокупности.
    §89. Я должен также возразить на общее утверждение Канта, что без чувственности нам не были бы даны предметы. Ноль, один суть предметы, которые не могут быть даны нам чувственно. Даже те, кто малые числа считает наглядными, всё же должны согласится, что наглядно нам не могут быть даны числа большие, чем (10001000)1000, и что всё-таки мы о них кое-что знаем. Вероятно, Кант использует слово "предмет" в каком-то другом смысле; но тогда ноль, один, наше ?1 совершенно выпадают из его рассмотрения, поскольку они также не являются понятиями, и к тому же от понятий Кант требует115, чтобы им в созерцании прилагался предмет.
    Для того чтобы меня не упрекнули в мелочных придирках к гению, которому нам следует лишь внимать с благодарным восхищением, я думаю, необходимо также подчеркнуть согласие, которое во многом преобладает. Если затрагивать только непосредственно лежащее на поверхности, я вижу большую заслугу Канта в том, что он провёл различие между синтетическими и аналитическими суждениями. Называя геометрические истины синтетическими и априорными, он раскрыл их подлинную сущность. И даже сейчас это заслуживает повторения, поскольку зачастую всё ещё не признаётся. Если Кант и заблуждался относительно арифметики, то для его заслуг, я думаю, это не существенный ущерб. Дело в том, что существуют синтетические суждения a priori; а встречаются ли они только в геометрии или также и в арифметике менее значимо.
    §90. Я не притязаю на то, чтобы сделать аналитическую природу арифметических предложений более чем вероятной, поскольку всё равно всегда остаётся сомнение, можно ли вывести их доказательство совершенно из чисто логических законов, не вмешивается ли где-нибудь незаметно основание доказательства иного вида. Это сомнение полностью не устраняется даже указаниями, которые я добавил при доказательстве отдельных предложений; оно может быть снято лишь посредством лишённой пробелов цепи выводов, так чтобы не совершался шаг, который не согласуется с одним из немногих способов вывода, признанных за чисто логические. До сего времени таким образом едва ли было выведено хоть одно доказательство, поскольку математики довольствуются тем, чтобы каждый переход к новому суждению был очевидно правильным, не задаваясь вопросом о том, какова природа этой очевидности, является она логической или же относится к созерцанию. Такой шаг часто является весьма сложным и равноценен большему числу простых выводов, наряду с которыми может присутствовать нечто, вытекающее из созерцания. В математике продвигаются скачками, и отсюда возникает кажущееся исключительным богатство способов вывода; поскольку, чем значительнее скачок, тем более многочисленные комбинации могут заменять простые выводы и аксиомы созерцания. Тем не менее, такой переход нам часто непосредственно очевиден, без того, чтобы осознавались промежуточные ступени; и поскольку он не изображается как опознанный логический способ вывода, мы готовы тотчас же принять очевидность за созерцаемую, а от