зано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
   Разъяснения, даваемые Карно относительно метода  бесконечных  величин,  -
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в  указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются  обычные  представления  о  бесконечной  малости  опускаемых
членов по сравнению  с  другими.  Он  оправдывает  метод  не  столько  самой
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются  правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е.  таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное  отбрасывание),  для
упрощения и сокращения исчисления.
   Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод  Ньютона,  метод
рядов,  чтобы  избавиться  от  трудностей,  связанных  с  представлением   о
бесконечно малом, равно как и с  методом  первых  и  последних  отношений  и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества  которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности  достаточно  известны,  мы
должны отметить - поскольку это касается нашей  темы  -  лишь  то,  что  оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в  нуль,  может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают  с  категории
приращения  и  разности  функций,  переменная  величина   которой   получает
приращение,  что  и  вызывает  появление  докучливого  ряда;  равно  как   в
дальнейшем  члены  ряда,  которые  должны  быть   опущены,   принимаются   в
соображение, лишь поскольку они составляют  некоторую  сумму,  и  основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности  их  определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к  точке
зрения, встречающейся, с одной стороны,  в  отдельных  видах  применения,  в
которых, как мы упомянули  раньше,  члены  ряда  должны  иметь  определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по  качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки  зрения,
которая  определенно  выступает  у  Лагранжа  относительно  так   называемых
дифференциальных   коэффициентов   лишь   в   так   называемом    применении
дифференциального  исчисления,  что  мы  подробнее  разъясним  в   следующем
примечании.
   Качественный  характер  вообще,  свойственный  (как  мы  здесь   доказали
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом  называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории  предела
отношения, которая приведена выше и проведение  которой  в  дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом.  Из  рассуждений  Лагранжа  об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел  не
вызывает определенной идеи, мы остановимся  на  втором  и  рассмотрим  более
подробно его аналитическое значение. Именно  в  представлении  о  пределе  и
содержится  указанная  выше  истинная  категория  качественного  определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как  моменты  -  и  само  .-
следует  рассматривать  как  единый  неделимый  знак.  Что   для   механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены  дифференциального  коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания.  Этот
предел должен  быть  теперь  пределом  данной  функции;  он  должен  указать
некоторое значение в связи с ней,  определяемое  способом  выведения.  Но  с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о  чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать,  что  бесконечно  малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и  dy,  имеет  не  только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество",  "и  т.
д.  до  бесконечности"  и  т.  п.,   а   определенный   смысл   качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако  эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к  данной  функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой  функции  и  не  приводит  к
такому пользованию указанным определением,  которое  должно  было  бы  иметь
место в последней; таким образом, и представление  о  пределе,  ограниченное
такой доказанной относительно него  определенностью,  также  ни  к  чему  не
привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что  это  предел
чего-то,  т.  е.  выражает  некоторое  значение,  заключающееся  в   функции
переменной  величины;  и  мы  должны  посмотреть,  каково   это   конкретное
оперирование им.
   Он должен быть пределом  отношения  друг  к  другу  двух  приращений,  на
которые, по сделанному допущению,  увеличиваются  две  переменные  величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается  как  функция
другой;
   приращение берется здесь вообще неопределенным,  и  постольку  бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к  тем  же  непоследовательностям,  которые  имеются  в  других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у +  k  fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph +  gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h  исчезают,  то  исчезает  и
второй член ряда  кроме  р,  которое  и  есть  предел  отношения  этих  двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
   О, но что вследствие этого в то же время h
   количество полагается еще не равно, а остается  некоторым  отношением.  И
вот представление о пределе должно принести  ту  пользу,  что  оно  устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то  же  время  быть  не
действительным отношением, которое было бы = ",
   а  лишь  тем  определенным  значением,   к   которому   отношение   может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы  разность  могла  стать  меньше
всякой данной разности. Более определенный  смысл  приближения  относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее,  но  и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще  может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0.  Если  же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как  это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность  для  предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании  k  которого  и  получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h  =  0,  то  само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к  у  имеет  место  лишь  при
условии, что приращение составляет h, - то надо было  бы  спросить,  что  же
такое р, которое есть совершенно определенное  количественное  значение.  На
этот вопрос сразу же само собой получается простой,  ясный  ответ,  что  оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает,  -
некоторым  определенным  образом  выведенная  первая   производная   функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как  и  в  самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался  им,  то  общая  часть  науки
дифференциального исчисления  и  непосредственно  сама  форма  его,  которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от  их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности,  состоящей  в  том,  что
кроме первого члена  или,  вернее,  лишь  коэффициента  первого  члена,  все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря  введению  этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и  от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде  всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и  от  дальнейших,  здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех  еще  других,  которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое  употребление  для  дальнейших  математических  целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно  достаточного,
что оно не что иное, как  полученная  путем  разложения  бинома  производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании.  -Здесь  же  мы  прежде
всего разберем  ту  путаницу,  которую  приведенное  выше  столь  обычное  в
изложениях пользование  представлением  о  приближении  внесло  в  понимание
собственной, качественной определенности того отношения,  о  котором  прежде
всего шла речь.
   Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают  собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что  то,  что  после
этого  остается,  есть  их  количественное  отношение,  исключительно   лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение  здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то,  что  получается  от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы  видели,  состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают  определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения  остаются  в  своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так  как
[здесь]  применяют  способ  представления,  бесконечно   приближающий   одну
ординату  к  другой,  то  ранее  различенная  ордината  переходит  в  другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути  дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин,  следует  сказать,  что  элемент  ординаты
необходимо брать не как отличие одной  ординаты  от  другой,  а  скорее  как
отличие  или  качественное  определение   величины   относительно   элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и  принцип  другой  находятся  в
отношении друг к  другу.  Различие,  не  будучи  больше  различием  конечных
величин, перестало быть многообразным внутри  самого  себя,  оно  свелось  в
простую  интенсивность,  в  определенность  одного   качественного   момента
отношения сравнительно с другим.
   Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что  мы  только
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность  или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством  одной  ординаты  и  определенным  количеством  другой.  Предел,
следовательно, не имеет  здесь  смысла  отношения;  он  считается  лишь  тем
последним значением, к которому  другая  величина  того  же  рода  постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно  мало  отличаться  от
него и что последнее отношение  есть  отношение  равенства.  Таким  образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы  неустойчивостью  отличия  (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от  другого,  и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx  есть  по  своему  существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в  представлении  на  задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть  относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это  поистине  означает:  dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения  для  геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение  величины  к  ее  пределу  и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого,  с
которой оно не отличие и тем не менее  все  еще  отличие.  Но  помимо  всего
прочего приближение есть само по  себе  категория,  ничего  не  говорящая  и
ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не
близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть  лишь
отрицание близости и приближения.
   Стало быть, поскольку вышло так,  что  приращения  или  бесконечно  малые
разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в
них исчезает, и лишь как его 3  предел,  их  понимают  как  безотносительные
моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в  последнем
отношении  допустимо  приравнивать  друг  к  другу,  например,  абсциссу   и
ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно  еще.  -
Может казаться, что  такое  представление  имеет  место  тогда,  когда  дуга
рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно,  тоже  несоизмерима  с
прямой линией и ее  элемент  имеет  прежде  всего  другое  качество,  нежели
элемент  прямой  линии.  Может  показаться   еще   более   бессмысленным   и
недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса  и  т.
д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно
малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию.  -
Однако такое  рассмотрение  следует  по  существу  отличать  от  вызывающего
порицание смешения; оно имеет свое оправдание в  том,  что  в  треугольнике,
.имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы  ее  абсциссы  и
ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был  элементом
прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное  отношение,  т.  е.
отношение, которое сохраняется в этих  элементах,  когда  абстрагируются  от
присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить  и  так,  что
прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и  отношение  между
ними при их бесконечности есть  отношение  между  кривыми.  Так  как  прямая
линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между  двумя  точками,
то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на  меньшем
множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть,  есть  определение
определенного количества.  Но  это  определение  в  ней  исчезает,  коща  мы
принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем
самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь  на
различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные,  прямая
линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу  и
потому,  на  основании  принятой  дефиниции,  не  имеют  больше  и  никакого
качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
   Родственным  и  тем  не  менее  отличным  от  приравнивания   разнородных
определений  оказывается  само   по   себе   неопределенное   и   совершенно
безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого
равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри  себя  предмету,
т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью  определения
величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей  механики
своеобразно превратному положению, что в равные и  притом  бесконечно  малые
промежутки времени проходят бесконечно  малые  части  кривой  в  равномерном
движении, причем утверждение это  касается  такого  движения,  в  котором  в
равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т.  е.
существующие неравные части кривой, т. е., стало  быть,  касается  движения,
которое как существующее неравномерно и признается  таковым.  Это  положение
есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член,
получающийся в  приведенном  выше  разложении  формулы  неравномерного,  но,
впрочем,  соответствующего  некоторому   закону   движения.   Более   ранние
математики старались  выразить  результаты  вновь  изобретенного  исчисления
бесконечно малых, которое  и  без  того  всегда  имело  дело  с  конкретными
предметами, в словах и положениях и  изобразить  их  геометрически,  главным
образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем  по  обычному
способу. Члены математической формулы, на которые анализ  разлагал  величину
предмета, например движения, получали, таким образом,  предметное  значение,
например значение скорости,  ускоряющей  силы  и  т.  п.  Они  должны  были,
согласно  такому  значению,  доставлять  правильные  положения,   физические
законы, и сообразно их аналитической связи должны  были  определяться  и  их
объективные связи и отношения, как, например, что  в  равномерно  ускоренном
движении существует особая пропорциональная  временам  скорость,  к  которой
кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие
положения приводятся в новейшей,  получившей  аналитическую  форму  механике
исключительно как результаты исчисления, причем  она  не  заботится  о  том,
имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е.  такой,  которому
соответствует существование, не заботится  и  о  том,  чтобы  это  доказать.
Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их  берут  в  явно
реальном  смысле,  например  объяснить   переход   от   просто   равномерной
(schlechtgleichfennigen)  скорости  к  равномерному   ускорению,   считается
совершенно устраненной  аналитическим  рассмотрением,  в  котором  указанная
связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления.
Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о
существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем  вычисления,
выдается за торжество науки. Но  в  первое,  еще  наивное  время  исчисления
бесконечно  малых  математики  всячески  старались  указать   и   разъяснить
самостоятельный  реальный  смысл  этих   представленных   в   геометрических
построениях определений и положений  и  применять  их  в  таком  смысле  для
доказательства  главных  положений,  о  которых  шла  речь  (ср.   Ньютоново
доказательство основного положения его теории тяготения в  Princ.  mathemat.
philisophiae  naturalis,  lib.  I,  sect.  II,  prop.  I,  с   "Астрономией"
Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не
совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело
обстоит не так, как это принимает Ньютон).
   Нельзя отрицать,  что  в  этой  области  многое,  главным  образом  из-за
туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве  доказательства
только на том  основании,  что  то,  чтб  получалось,  всегда  было  заранее
известно, и доказательство, построенное таким образом,  что  получалось  это
заранее   известное,   создавало   по   крайней   мере   видимость    остова
доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь
опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто
как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода
фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в  особенности  принадлежащие  к
только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес  и  ставили
его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй
нашел лишь опытным путем.
   Пустой  остов  таких  доказательств  был   воздвигнут,   чтобы   доказать
физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать  определения
величины в физике, поскольку эти  определения  суть  законы,  имеющие  своей
основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать
по той простой причине, что она не  философия,  не  исходит  из  понятия,  и
поэтому качественное, поскольк