ником логических дедукций: "Как каждое проявление человеческой мысленной активности, логическое мышление ищет приемлемого посредника. Конечно, в первую очередь оно выбирает  для  этого общее употребление..."(146,126). Такие правила могут быть сильно упрощены для формализованных языков,  которые  используются  в современной логике. Каждый имеет "интуитивное" знание, пишет Э.Бет, синтаксических и семантических правил для своего родного языка, однако, если он попытается обосновать эти правила, результат будет неадекватным. Конечно,  попытки такого обоснования могут быть полезны в качестве указателей направлений, следуя по которым мы могли бы выбрать синтаксические и семантические правила для формализованного языка, специально предназначенного для целей логического анализа. Сложность естественного языка заключается прежде всего в том,  что  невозможно  определить разрешающую процедуру, которая давала бы ответ на вопрос о том, является ли некоторая последовательность слов грамматическим  предложением, то есть предложением,  построенным в  соответствии с синтаксическими и семантическими правилами некоторого  естественного языка. Работы Н.Хомского (см.,например, (159)) показывают эту сложность. Множество Е есть множество всех  конечных последовательностей слов, входящих в английский язык, а множество Е?  -  множество  всех  грамматических английских предложений, такое, что Е? ?   Е. Как было сказано,  множество Е  неразрешимо (нерекурсивно). Допустим, что Е?  является каноническим множеством (рекурсивно перечислимым). Тогда можно иметь дело с этим множеством конструктивно,  то есть посредством алгоритма, поскольку можно думать о  последовательностях слов, принадлежащих ему,  как  о  производимых человеком посредством приемлемо выбранного алгоритма  (или  обученного этому алгоритму). Работы Н.Хомского по генеративной и трансформационной грамматике Э.Бет характеризует  как исследовние возможностей такого алгоритма. То, что обозначется Н.Хомским как "модель" или как "грамматика", очень  близко  подходит к алгоритму в смысле Поста. Пожалуй, если мы найдем и  проанализируем алгоритм естественного языка, мы   сможем  проявить активность в целенаправленном  поиске  алгоритма  для  более адекватного относительно целей логики формализованного языка.
     Рассмотрим пример: имеется пара предложений
    (1) The picture was painted by a new technique
   (Картина исполнена новой техникой)
и
   (2) The picture was painted by a real artist
   (Картина исполнена настоящим художником).
На уровне структуры предложения могут быть представлены идентично как NP - was - verb + en - by + NP, то есть порождающая их структура одна и та же. Однако понимаются они различно. В чем различие? Предложения различны, потому что различны их трансформационные истории. Тезис Н.Хомского заключается в том, что  для понимания предложения необходимо реконструировать его анализ на каждом лингвистическом уровне, необходимо иметь порождающую его структуру  и всю его трансформационную историю как бы перед глазами.
     Таким образом, естественный язык не является адекватным посредником для логического мышления. Оно строит  формализованные языки. Такие языки полностью заданы формальными (синтаксическими) правилами для манипуляций с символами,  правилами, которые Э.Бет называет иногда "правилами игры". Смысл, приписанный символам, не играет никакой роли.  Так поступает формалист типа Гильберта, пишет Э.Бет. "Для формалиста  даны определенные  символы  и  комбинации символов, из которых, на базе определенных правил  (то есть на базе правил, указывающих исключительно на форму и порядок символов,  но  не на их смысл) могут быть получены новые комбинации символов"(146,106).
     Лучше, несомненно, провести и  сохранить   традиционное различие между понятиями формальной системы и  формализованных языков в  том смысле,  что  первое понимается как род, а вторые - как виды. Под формальной системой понимается система, полностью заданная своими формальными правилами.   Такая формальная система только становится формализованным языком, как только символам уместным способом придается хорошо установленный смысл:"...кто понял смысл символов,  может использовать формальную  систему  как язык  и сообщать свои мысли"(146,109).Вместе с тем формальные правила продолжают сохранять свое значение и  играть  важную роль в прояснении мышления и определениях законов строгого рассуждения: "...если он хочет доказать корректность своих мыслей в этом языке,   он должен будет, конечно, обратить свое внимание на формальные правила"(146,109).
     Поиск надежных правил строгого рассуждения, а также критериев надежности аргументации привел к тому, что было сформулировано  понятие  логического  следования  и определенные процедуры проверки того, имеется или нет оно между некоторыми выраженияи языка. Рассмотрим пример. Пусть имеется  некоторый первопорядковый язык с одноместными предикатами только. Обычным способом заданы алфавит и понятие правильно построенной формулы, равно как и интерпретация. Понятие логического следования также сформулировано  как обычно. Пусть требуется ответить  на  вопрос,  следует  ли  логически  формула  вида ?? z(P(z) & S(z)) из формул  ? ?x(M(x) & P(x)) и ? y(S(y)? M(y)). 
     Строим семантическую таблицу,  которая  рассматривается  как описание  попытки  систематического  построения  подходящего контрпримера:
           Истинно                    Ложно
_________________________________________________________
     (1) ? ?x(M(x) & P(x))       (3) ? ?z(P(z) & S(z))
     (2)  ? y(S(y)  ? M(y))
     (4)   ?z(P(z) & S(z))       (5)  ? x(M(x) & P(x))
     (6)   P(a) & S(a)
     (7)   P(a)
     (8)   S(a)
     (9)   S(a) ?  M(a)          (10)    M(a) & P(a)
__________________________________________________________
                                             (11) M(a)       (12) P(a)
__________________________________________________________ 
               (14) M(a)             (13) S(a)
Построение привело к следующему результату: таблица замкнута. Это значит, что попытка систематического построения подходящего контрпримера провалилась. Такого контрпримера не имеется, то есть формула (3) следует логически из  формул (1)   и (2). Однако может быть выдвинуто возражение,  что такая таблица не имеет обычной, привычной формы рассуждения,  которое идет от данных посылок и в конце концов "дает" желаемое заключение. Не трудно устранить этот дефект и привести  рассуждение в желаемый вид (получаемый в обычной генценовской системе натуральной дедукции):
     (1)?? x(M(x) & P(x))              пос.1
     (2)   ?y(S(y)  ? M(y))              пос.2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
     (4)  ? z(P(z) & S(z))             +гип.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
     (6)   P(a) & S(a)                   +гип.2
     (7)   P(a)                                (6)
     (8)   S(a)                                (6)
     (9)   S(a) ?  M(a)                 (2)
    (14)   M(a)                             (8), (9)
    (10)   M(a) & P(a)                 (14), (7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
     (5)    ?x(M(x) & P(x))            -гип.2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
     (3)  ? ?z(P(z) & S(z))            -гип.1
Несомненно, формальный язык имеет заметные преимущества  перед естественным в представлении строго логической  аргументации, для которой он  является  более  адекватным средством выражения по крайней мере, в некоторых областях. И в  семантических таблицах, и в  представлении  натуральной  дедукции находит свое выражение понятие активности. В первом случае - это активность, проявляющаяся в поиске контрпримера для данной логической задачи, во втором - активность в   построении доказательства. Надо сказать, что для Э.Бета основным проявлением активности является та, что проявляется в использовании формальных правил, и деятельностью, порождаемой этим видом активности, является деятельность манипулирования символами. С этой точки зрения несомненной  ценностью представляется  теория  трансформационной  и  генеративной  грамматики Н.Хомского, в которой также подчеркиваются  моменты активности, деятельности с языковыми выражениями и законами  трансформаций. Удобство формальных языков уже в том, что множество выражений первопорядкового языка с  одноместными предикатами не только рекурсивно перечислимо, но и разрешимо. Думается, что и логическое  доказательство можно представить как процесс порождения некоторых выражений из исходных. (Справедливость требует заметить, что понятие  активности в работах Э.Бета не рассмотрено столь явно и подробно, как хотелось бы.)
     Как у Э.Бета, так и у П.Лоренцена  основные соображения складываются вокруг понятия деятельности.  "Операциональная" интерпретация Лоренцена состоит в построении эффективной логики, которая  должна  рассматриваться как некоторая система "универсальных" правил, принимаемых всякий раз,  когда в основе лежит некоторая система правил действия, то есть правил построения доказательства или построения произвольных последовательностей символов. В этом случае, по выражению К.Лоренца, "полем приложения правил логики является не мир как тотальность фактов, но, скорее, мир, рассматриваемый в  терминах специфических   видов человеческой научной деятельности"(147,354).
          3.2. Правила построения формального диалога.

     Представим   характерные  черты  построения  формальных диалогов. Это позволит продолжить разговор о философской подоплеке исследований П.Лоренцена более предметно. Как и прежде, базовым языком является обычный  язык  логики предикатов первого порядка с обычными определениями атомарной формулы и формулы.
     Повторим, что основная идея диалогового подхода П.Лоренцена заключается в том, что смысл логических  операторов или кванторов определяется  спецификацией  того,  как может быть построен формальный диалог относительно некоторого выражения, содержащего этот оператор или  квантор в качестве основного.
     Слово "формальный"  в словосочетаниях  типа "формальный диалог" нуждается в пояснениях. Барт и Краббе (145) считают, что данный  термин  употребляется в современных исследованиях во многих смыслах и выделяют по меньшей мере пять его пониманий. Данный термин может употребляться в смысле, относимом к "формам" Платона; в смысле,  относимом  к лингвистическим формам (видам лингвистических конструкций); в смысле, который имеет отношение к процедурной строгости.  Так,  в   словосочетании "современная  формальная  логика"  подразумевается  второе и третье из упомянутых пониманий, но никоим образом не первое. Имеется и такое понимание, в котором "формальное" есть  "неэмпирическое" или даже  "нормативное"  (такой   интерпретации придерживается Ч.Хэмблин в своем противопоставлении "формальной диалектики" и "дескриптивной диалектики".)  И,  наконец, пятое понимание противопоставляет "формальный диалог" ("формальную диалогическую игру") "материальному диалогу" ("материальной диалогической игре"). Последнее различие связано  с тем, что в формальных диалогах  не предусматриваются правила для каких-либо дескриптивных терминов.  Э.Краббе, в противовес П.Лоренцену и К.Лоренцу, для которых материальные диалоги, рассматриваемые с философско-содержательной стороны, имеют явный приоритет над формальными, считает, что  нематериальные диалогические системы являются необходимыми  и формируют более фундаментальный случай,  из  которого  могут быть выведены материальные системы, предназначенные, скажем,  для разрешения ситуаций конфликтов мнений.
     Итак, с точки зрения П.Лоренцена, утверждение предложения имеет смысл, если имеется некто, кто отрицает или просто сомневается в данном предложении. Должны существовать точные соглашения о правилах диалога, определяющих смысл обсуждаемого оператора или квантора.  В  качестве основного вводится понятие диалогически-определенного предложения,  означающее, что возможные диалоги относительно этого предложения  заканчиваются после конечного числа шагов, осуществляемых согласно некоторым предварительно обусловленным и эффективно  приложимым правилам таким,  что в конце концов может быть решено, кто выиграл и кто проиграл.  В этом смысле диалог может быть интерпретирован как игра.
	Диалогически-определенные предложения  противопоставляются в определенном смысле истинностно-определенным  и доказуемостно-определенным.  Под первыми понимаются предложения, которым призвольно приписывается одно из истинностных значений - "истинно" или "ложно" (в двузначной логике): предложения (атомарные) являются истинными или ложными  "сами по себе". Однако не все предложения таковы: имеются и такие,  которые  невозможно  определить  с  точки зрения истинности. В этом случае можно попытаться (как, скажем, в арифметике) доказать это предложение  при наличии метода, позволяющего относительно каждой попытки доказательства  сказать,  является оно доказательством или нет. Это и характеризуется с помощью понятия доказуемостно-определимого предложения.
     Имеется два игрока - назовем их условно игрок 1 и игрок 2. Диалог состоит из множества позиций,  то  есть как бы моментально сделанных фотографий диалога на разных его стадиях. Формально как диалог, так и каждая стадия представлены в виде таблиц. Имеется правило R, которое формально  является двухместным отношением, получающимся между позициями.  То,   что между двумя позициями имеется отношение R, значит, что вторая позиция получена непосредственно из первой посредством допустимого хода. Ходы игроки делают по очереди. Между позициями устанавливается обычное отношение "быть предком" (соответственно, "быть потомком"). Если для некоторой позиции не установлен потомок, то позиция называется конечной.
     Множество  позиций  М  подразделено  на две исключающие друг друга подобласти: М? и М??  , то есть соответствующие области ходов игрока 1 и игрока 2. Если первоначальная позиция    ?  после конечного числа ходов (каждый из которых сделан  в соответствии с правилом R) трансформируется в конечную позицию  ? ,которая является элементом М??  ,но для которой  не определен никакой потомок (то  есть  игрок  2 не может сделать хода), то выиграл игрок 1. Он выигрывает  только в этом случае. Если конечная позиция  ?   принадлежит области игрока 1, то выиграл игрок 2. Как видно, между игроками  имеется определенное неравенство. Игрок 2 выигрывает  не только достижением благоприятной для него  позиции  в конечное число шагов (имеется в виду конечная позиция), но и тогда, когда он препятствует игроку 1 достичь такой -  благоприятной для игрока 1 - позиции. П.Лоренцен называет игрока 1 обычно пропонентом, игрока 2 - оппонентом.
     На  нулевом  шаге пропонент излагает некоторую формулу. Последующие ходы или излагают замкнутые формулы или являются ходами атаки (вызова). Правило R представляет из себя  совокупность трех правил: логического правила L, базисного  правила B и структурного правила S.
     Правило L  обусловливает то, какие  атаки  разрешены  и какие защиты возможны против этих атак:
     (1) Если предложенная формула имеет вид A & B, то атака может иметь вид ?л или ?п  (сомневаюсь в левом, соответственно, в правом, компоненте). В первом случае  единственная защита состоит в избрании A, в случае второй - в избрании B.
     (2) Если предложенная формула имеет вид A  ? B, то атака выглядит как ? (сомневаюсь). Защита осуществляется избранием A или избранием B.
     (3) Если предложенная формула имеет вид  ?А, атака заключается в избрании A; защита невозможна. Но в качестве хода защиты может быть избрана контратака - в данном  случае против A.
     (4) Если предложенная формула имеет вид  А  ?  B,  атака состоит в избрании A, защита - в избрании B. Вместо хода защиты можно избрать ход контратаки против A.
     (5) Если предложенная формула имеет вид  ?xA(x),  может быть предпринято бесконечно большое число атак вида ?а,?b,...,где a, b,..., есть индивидные  константы, свободно выбранные атакующим. Соответствующие ходы защиты состоят в    избрании A(a), A(b),...
     (6) Если предложенная формула имеет вид   ? xA(x), атака состоит в ходе ?. Защита может  выбрать  бесконечно  большое число  ходов вида A(a), A(b),...,  где a, b,... - индивидные константы, свободно выбранные защищающимся.
     Правило  B устанавливает  ограничения на ходы игрока 1. Ему разрешено использовать атомарную  формулу  в ходах атаки или защиты только в том случае,  если  эта  формула уже была использована игроком 2 в предыдущих ходах.
     Правило S специфицирует число атак и защит, которые могут быть сделаны: 1) игрок 2 может  атаковать  один и только один раз некоторую формулу, появляющуюся в М? ,  2)  игрок  1 может атаковать  произвольное  число  раз формулу в М?? , 3) в первую очередь ходы должны применяться к тем формулам, которые появились последними, 4) в случае классической    логики игроку 1 (и только ему) дано право повторять не только атаки, но и защиты. Если этого не разрешено  (то  есть не разрешено повторять защиты), то получается диалоговый подход к  интуиционистской логике. 
     Определим  понятие  стратегии игрока.  Наличие у игрока определенной стратегии относительно  первоначальной  формулы означает, то строго определены его ходы относительно каждого возможного хода его партнера по диалогу. Стратегия называется выигрышной стратегией игрока 1 (относительно первоначальной позиции), если и только если игрок 1 тем, что  совершает ходы в соответствии с этой стратегией, выигрывает каждый диалог, начинающийся  с данной первоначальной позиции, то есть в конечное число шагов достигает позиции (в области М??), благоприятной для него. Сходным образом определяется выигрышная стратегия игрока 2, за исключением того,  что он при наличии    выигрышной стратегии не обязательно достигает  благоприятной для него конечной позиции.  Наличие  у  игрока  2 выигрышной стратегии может означать, что он просто не дает выиграть игроку 1. В этом случае диалог может быть как конечной, так  и бесконечной длины. Следующим определением дается понятие общезначимости: некоторая формула ?  общезначима, если и только если у игрока 1 имеется выигрышная стратегия  для первоначальной позиции, на которой избирается данная формула  ? .
     Характерной чертой диалогового подхода П.Лоренцена  является неравенство участников. Во-первых, они  различаются  в определении выигрыша и проигрыша: игрок 2 выигрывает не только тем, что достигает благоприятной позиции, но и тем, что препятствует игроку 1 достигнуть благоприятной для него позиции.  Во-вторых, неравенство игроков  зафиксировано  в  правиле S: атаки повторять может только игрок 1. В-третьих,    различие имеется и в правиле B, и касается отношения игроков к атомарным формулам. В использовании их игроком 2 ограничений  нет, игрок же 1 может лишь повторять те атомарные формулы,  которые уже были употреблены игроком 2.
     Приведем простой пример для иллюстрации того, как проходит диалог. Пусть игрок 1 предложил формулу вида  ?x?A(x) ?   ??xA(x). Диалог представлен следующей таблицей:
             Игрок 2                  Игрок 1
_________________________________________________________
     0                                     ? x?A(x)   ?  ?? xA(x)
_________________________________________________________
     1    ? x?A(x)                  ?? xA(x)
_________________________________________________________
     2    ? xA(x)
_________________________________________________________
     3     ?A(a)                       ?
_________________________________________________________
     4      A(a)                           ?a
_________________________________________________________
     5                                        A(a)
_________________________________________________________
Для удобства анализа диалога слева приведена нумерация  этапов диалога,  которые называются позициями. В первой позиции игрок 2 атакует формулу,  предложенную в начальной (нулевой) позиции,   посредством выбора  ?x?A(x).  Игрок  1 защищается: ?? xA(